русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Сеточные методы для нестационарных задач

Уменьшение величины шага приводит к квадратичному возрастанию числа точек в области решения, а следовательно, к порядку алгебраической системы уравнений. Одним из путей уменьшения числа уравнений является метод прямых, который позволяет аппроксимировать дифференциальное уравнение в частных производных системой дифференциальных уравнений в обыкновенных производных с краевыми условиями. Для этого частные производные по одной из независимых переменных не заменяют конечно-разностным эквивалентом. Если в уравнении оставлена пространственная переменная, то получаемая система будет краевой задачей со всеми сложностями  ее решения, рассмотренными ранее.

Существенным будет выигрыш лишь при решении дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих нестационарные процессы. К ним относятся уравнения, подобные уравнениям теплопроводности и волновому. Этим уравнениям кроме условий на границе задают еще  и начальное распределение искомой функции во всех точках области решения.

Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:

,

которое описывает распространение тепла (изменение температуры) вдоль металлического стержня, вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами. Коэффициент B, характеризующий свойства материала, возьмем равным 1.

Пусть расстояние между пластинами равно единице, т.е. , значения температуры на пластинах   и начальное распределение температуры по длине   .

Разобьем единичную длину стержня на 8 равных частей (h=1/8)и обозначим значение температуры в каждой точке через , k=0,1,...,8. Применим пяти- и шести точечную аппроксимацию частной производной второго порядка: первую симметричную - для внутренних точек, и вторую (несимметричную) – для приграничных точек . Температуры в точках с  k=0и k=8  заданы: 100° и 0°.

После замены производных конечно-разностными эквивалентами получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями    в векторно-матричной форме:

Чтобы получить представление о влиянии порядка разностных формул на вид записи и точность решения задачи, в таблице приведены системы уравнений для 5- и 3-точечных выражений частных производных:

Произ-водная

T1’=

-15T1-4T2+14T3-6T4+T5+1000

 -20T1+6T2+4T3-T4+1100

 -2T1+T2+100

T2’=

16T1-30T2+16T3-T4-100

 16T1-30T2+16T3-T4-100

 T1-2T2+T3

T3’=

-T1+16T2-30T3+16T4-T5

 -T1+16T2-30T3+16T4-T5

 T2-2T3+T4

T4’=

-T2+16T3-30T4+16T5-T6

 -T2+16T3-30T4+16T5-T6

 T3-2T4+T5

T5’=

-T3+16T4-30T5+16T6-T7

 -T3+16T4-30T5+16T6-T7

 T4-2T5+T6

T6’=

-T4+16T5-30T6+16T7

 -T4+16T5-30T6+16T7

 T5-2T6+T7

T7’=

T3-6T4+14T5-4T6-15T7

 -T4+4T5+6T6-20T7

 T6-2T7

Полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно решать любым из рассмотренных ранее численным методом. Правда, появляется особенность в выборе шага интегрирования по времени, который теперь зависит еще и от шага разбиения области решения по пространственной переменной. В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями “вперед” соотношение между шагом по временной переменной  и по пространственной должно подчиняться следующему неравенству: . При несоблюдении неравенства решение будет численно неустойчивым и интегрирование по времени с каждым шагом будет давать  неограниченно возрастающие значения.

В рассматриваемом примере =0,015625, поэтому интегрирование трех систем по формулам Рунге-Кутта было выполнено с шагом по времени = 0,001 до значения 0,01 и с шагом 0,005 – до значения времени, равного 0,75. Выборка ряда значений температуры из решений в интервале времени (0,0.75] показана в таблице колонками из трех чисел, соответствующих сверху-вниз трем приведенным выше системам.

 

0.01

36.32

36.82

23.97

8.152

8.466

3.434

0.9573

1.038

0.3456

-0.005579

0.004583

0.02668

-0.02021

-0.02009

0.001666

-0.001651

-0.002840

8.73610^(-5)

0.009336

-0.0001931

3.93410^(-6)

 

0.02

52.52

52.39

37.89

20.86

21.00

9.682

6.165

6.287

1.825

1.298

1.347

0.2702

0.1715

0.1810

0.0328

0.01656

0.002515

0.003367

0.03366

-0.01559

0.0002973

 

0.05

69.3

69.17

57.27

42.88

42.79

26.61

23.52

23.50

10.15

11.37

11.37

3.243

4.821

4.826

0.884

1.773

1.767

0.2089

0.5202

0.5142

0.04223

 

0.1

77.99

77.98

69.09

57.61

57.58

42.81

40.14

40.12

23.71

26.27

26.25

11.75

16

15.99

5.222

8.826

8.829

2.076

3.842

3.854

0.6867

 

0.25

85.43

85.43

80.18

71.18

71.18

61.57

57.51

57.51

45.12

44.6

44.60

31.4

32.51

32.51

20.52

21.18

21.18

12.13

10.43

10.43

5.581

 

0.5

87.32

87.32

85.39

74.67

74.67

71.1

62.07

62.07

57.41

49.54

49.54

44.5

37.07

37.07

32.42

24.67

24.67

21.11

12.32

12.32

10.39

 

0.75

87.48

87.48

86.87

74.97

74.97

73.84

62.46

62.46

60.99

49.96

49.96

48.37

37.46

37.46

35.99

24.97

24.97

23.84

12.48

12.48

11.87

Как видно, трех точечная аппроксимация по сравнению с пятиточечной дает худший результат. Точное решение в установившемся режиме дает изменение температуры на каждой одной восьмой длины стержня  12,5°С. Пятиточечная  аппроксимация в данной задаче дала погрешность в сотые доли процента.

Просмотров: 1170

Вернуться в оглавление:Введение в численные методы



Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с. – На русск. яз.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.