русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Разностные схемы для уравнений в частных производных

Конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных, называемая в литературе методом сеток, использует те же конечно-разностные выражения производных через значения искомой функции, которые приведены в таблицах выше. Однако есть особенности, которые связаны с наличием у каждой рассматриваемой точки соседних точек не только по направлениям осей независимых переменных, но и во множестве других наклонных направлений. Поэтому, в случае использования  многоточечных (более трех точек) формул для производных, выражения последних могут разрабатываться дополнительно для каждого применения.

Наиболее удобным в разработке многоточечных конечно-разностных выражений для уравнений в частных производных является операторный метод, основанный на учете взаимосвязи оператора дифференцирования с операторами сдвига по направлениям различных независимых переменных. Рассмотрим его применение на примере построения разностных формул для двумерных уравнений в частных производных второго порядка.

Характерным представителем уравнений в частных производных второго порядка является уравнение Лапласа:

,

где           – непрерывная функция, заданная на границе области.

Область численного решения уравнения разобьем на клетки системой вертикальных и горизонтальных прямых, проходящих через равномерно расположенные с шагом h точки на осях координат соответственно x и y:

Значения функции в узлах сетки обозначим через  и для каждой точки области решений частные производные из уравнения заменим соответствующим (например, трех точечным) симметричным конечно-разностным выражением для внутренних точек и для точек вблизи границ таким несимметричным, чтобы значения функций не выходили за пределы области:

После подстановки в уравнение Лапласа этих выражений для каждой внутренней точки области будет получена система алгебраических уравнений следующего вида:

В качестве примера, демонстрирующего применение метода сеток, приведем решение уравнения Лапласа для прямоугольной области с количеством узлов   и значениями функции на границе, как показано ниже:

  u(0,0)

 0.5

 0.476

0.404

0.294

0.154

0

 0.5

 u(1,1)

  u(1,2)

u(1,3)

u(1,4)

u(1,5)

0

0.476

u(2,1)

 u(2,2)

u(2,3)

u(2,4)

u(2,5)

0

0.404

u(3,1)

 u(3,2)

u(3,3)

u(3,4)

u(3,5)

0

0.294

u(4,1)

 u(4,2)

u(4,3)

u(4,4)

u(4,5)

0

 0.154

u(5,1)

 u(5,2)

u(5,3)

u(5,4)

u(5,5)

0

 0

    0

   0

    0

    0

    0

0

Уравнения для 25 внутренних точек u(i,k):

0.5-4·u(1,1)+u(1,2)+u(2,1) +0.5=0,

u(1,1)-4·u(2,1)+u(2,2)+u(3,1)+0.476=0,

u(2,1)-4·u(3,1)+u(3,2)+u(4,1)+0.404=0,

u(3,1)-4·u(4,1)+u(4,2)+u(5,1)+0.294=0,

u(4,1)-4·u(5,1)+u(5,2)+0.154=0,

0.476+u(1,1)-4·u(1,2)+u(1,3)+u(2,2)=0,

u(1,2)+u(2,1)-4·u(2,2)+u(2,3)+u(3,2)=0,

u(2,2)+u(3,1)-4·u(3,2)+u(3,3)+u(4,2)=0,

u(3,2)+u(4,1)-4·u(4,2)+u(4,3)+u(5,2)=0,

u(4,2)+u(5,1)-4·u(5,2)+u(5,3)=0,

0.404+u(1,2)-4·u(1,3)+u(1,4)+u(2,3) =0,

u(1,3)+u(2,2)-4·u(2,3)+u(2,4)+u(3,3)=0,

u(2,3)+u(3,2)-4·u(3,3)+u(3,4)+u(4,3)=0

u(3,3)+u(4,2)-4·u(4,3)+u(4,4)+u(5,3)=0,

u(4,3)+u(5,2)-4·u(5,3)+u(5,4)=0,

0.294+u(1,3)-4·u(1,4)+u(1,5)+u(2,4) =0,

u(1,4)+u(2,3)-4·u(2,4)+u(2,5)+u(3,4)=0,

u(2,4)+u(3,3)-4·u(3,4)+u(3,5)+u(4,4)=0,

u(3,4)+u(4,3)-4·u(4,4)+u(4,5)+u(5,4)=0,

u(4,4)+u(5,3)-4·u(5,4)+u(5,5)=0,

0.154+u(1,4)-4·u(1,5)+u(2,5) =0,

u(1,5)+u(2,4)-4·u(2,5)+u(3,5)=0,

u(2,5)+u(3,4)-4·u(3,5)+u(4,5)=0,

u(3,5)+u(4,4)-4·u(4,5)+u(5,5)=0,

u(4,5)+u(5,4)-4·u(5,5)=0.

Результат решения системы из 25 уравнений представлен в таблице:

u(0,0)

 0.5

 0.476

 0.404

 0.294

 0.154

 0

0.5

0.444618

 0.389236

 0.316975

 0.225193

 0.116966

 0

0.476

0.389236

 0.319355

 0.249474

 0.172833

 0.0886772

0

0.404

0.316975

 0.249474

 0.188730

 0.127986

 0.0649079

0

0.294

0.225193

 0.172833

 0.127986

 0.0854773

 0.0429672

0

0.154

0.116966

 0.0886772

 0.0649079

 0.0429672

 0.0214836

0

0

 0

 0

 0

 0

 0

0

Следует отметить, что в трех точечном представлении конечно-разностные выражения производных второго порядка для внутренних и приграничных точек совпадают. Это позволяет для прямоугольных областей, заменив двумерную индексацию неизвестных   одномерной

,

преобразовать систему уравнений в векторно-матричную форму записи с блочно-диагональной матрицей коэффициентов, которая удобна для решения алгебраических уравнений с числом неизвестных более 100 на векторных вычислительных машинах:

,

где          ,  ,  I

– матрицы, соответственно, блочная, коэффициентов и единичная;

,                              ,                         ,

,            ,        

– соответственно, векторы неизвестных и правых частей уравнения со своими блочными компонентами.

В конечно-разностном представлении уравнения Лапласа каждое уравнение является для соответствующей точки области формулой вычисления среднего арифметического совокупности значений функции в соседних точках:

.

Погрешность конечно-разностного представления уравнения Лапласа в виде системы алгебраических уравнений определяется погрешностью аппроксимации производных, которая для трех точечного варианта, приведенного выше, пропорциональна шагу сетки.

Естественно желание повысить точность аппроксимации лапласиана, добавив в структуру его конечно-разностного представления  значения функции в дополнительных точках при сохранении суммирования значений  из окружающих точек. 

Просмотров: 2352

Вернуться в оглавление:Введение в численные методы



Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с. – На русск. яз.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.