русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Краевые задачи для уравнений второго порядка

При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.

Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек  области интегрирования.

В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным  применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору.

Если в центральных точках точность аппроксимации производных с n точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для  (n+1)-й точки или более.

Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название "разностные схемы". Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение.  Вид уравнения,  условия на границе интервала,  решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести-  и  семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.

Система уравнений с трехточечным представлением производных

Вектор разностного решения с шагом h=0.1

-199+100+0.1=0

0.0186590989712

0.0186415437361

100-199+100+0.2=0

0.0361316064473

0.0360976603850

100-199+100+0.3=0

0.0512427953890

0.0511947672548

100-199+100+0.4=0

0.0628415300546

0.0627828520998

100-199+100+0.5=0

0.0698118753674

0.0697469636621

100-199+100+0.6=0

0.0710840847137

0.0710183518969

100-199+100+0.7=0

0.0656455142231

0.0655851465687

100-199+100+0.8=0

0.0525504484304

0.0525024675253

100-199+0.9=0

0.0309298757856

0.0309018656257

 

Система уравнений для пяти-точечного

представления производных

Вектор решения

-9940+3000+2000-500+6=0

0.0186406186406

 8000-14940+8000-500+12=0

0.0360968696594

-500+8000-14940+8000-500+18=0

0.0511941848390

-500+8000-14940+8000-500+24=0

0.0627825213460

-500+8000-14940+8000-500+30=0

0.0697468774179

-500+8000-14940+8000-5008+36=0

0.0710184988305

-500+8000-14940+8000-500+42=0

0.0655854996422

-500+8000-14940+8000+48=0

0.0525029672554

-500+2000+3000-9940+54=0

0.0309024932693

 

Система уравнений для пяти- и шести точечного

представления производных

Вектор решения

-3720-1000+3500-1500+250+3=0

0.0186415486274

 8000-14940+8000-500+12=0

0.0360976918947

-500+8000-14940+8000-500+18=0

0.0511948294923

-500+8000-14940+8000-500+24=0

0.0627829167486

-500+8000-14940+8000-500+30=0

0.0697469746974

-500+8000-14940+8000-500+36=0

0.0710183243686

-500+8000-14940+8000-500+42=0

0.0655851063829

-500+8000-14940+8000+48=0

0.0525024168959

 250-1500+3500-1000-3720+27=0

0.0309018105849

Система уравнений для семиточечного представления производных

Вектор решения

-7260-12750+23500-14250+4650-650+9=0

0.0186415513486

 11400-20910+10000+750-600+100+18=0

0.0360976659970

-1350+13500-24410+13500-1350+100+27=0

0.0511947713313

 10-135+1350-2441+1350-135+10+3.6=0

0.0627828547351

 10-135+1350-2441+1350-135+10+4.5=0

0.0697469648318

 10-135+1350-2441+1350-135+10+5.4=0

0.0710183515790

 100-1350+13500-24410+13500-1350+63=0

0.0655851447467

 100-600+750+10000-20910+11400+72=0

0.0525024640963

-650+4650-14250+23500-12750-7260+81=0

0.0309018602217

В этой задаче весь интервал интегрирования [0,1] был разбит на 10 равных частей с шагом h=0.1. Из одиннадцати точек в двух крайних искомая функция x(t) была задана, поэтому уравнения записывались для девяти внутренних точек, в которых значения функции требовалось найти.

Просмотров: 1092

Вернуться в оглавление:Введение в численные методы



Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с. – На русск. яз.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.