русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Разностные системы уравнений для краевых задач

Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.

Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.

Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора  как

,

обязательно задается полный набор краевых условий , включающий хотя бы одно значение , или набор комбинаций из значений  и

Обычно  задаваемое  граничное  значение  совмещается  с  тем  или  иным n-ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки.

Векторы , ,  и матрица   в  общем  случае  приводятся  к  единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования , в котором   с шагом по оси абсцисс равном . Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:

.

Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:

Чтобы выразить значение производной порядка k в m-той точке целочисленного интервала [0, n] через ординаты функции  необходимо выполнить следующие операторные преобразования:

Заменив конечно-разностные операторы  (после приравнивания нулю разностей со степенями выше n) выражениями с оператором сдвига  и вспомнив, что  , получим в результате для k-той производной в m-той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:

.

Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине  и c наибольшим – для точек конца интервала.

Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков  по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты  k1, k2для формул погрешности.

 

Трех точечная аппроксимация первой производной

 

y(0)

 

y(1)

 

y(2)

y’(0)

-3

4

-1

2

y’(1)

-1

0

1

-1

y’(2)

1

-4

3

2

Четырех точечная аппроксимация первой производной

-11

18

-9

2

-3

-2

-3

6

-1

1

1

-6

3

2

-1

-2

9

-18

11

3

Пятиточечная аппроксимация первой производной

-25

48

-36

16

-3

12

-3

-10

18

-6

1

-3

1

-8

0

8

-1

2

-1

6

-18

10

3

-3

3

-16

36

-48

25

12

Шести точечная аппроксимация первой производной

-137

300

-300

200

-75

12

-10

-12

-65

120

-60

20

-3

2

3

-30

-20

60

-15

2

-1

-2

15

-60

20

30

-3

1

3

-20

60

-120

65

12

-2

-12

75

-200

300

-300

137

10

Семи точечная аппроксимация первой производной

-147

360

-450

400

-225

72

-10

60

-10

-77

150

-100

50

-15

2

-10

2

-24

-35

80

-30

8

-1

4

-1

9

-45

0

45

-9

1

-3

1

-8

30

-80

35

24

-2

4

-2

15

-50

100

-150

77

10

-10

10

-72

225

-400

450

-360

147

60

Трех точечная аппроксимация второй производной

1

-2

1

-12  ,  2

1

-2

1

0   , -1

1

-2

1

12  , -2

Четырех точечная аппроксимация второй производной

2

-5

4

-1

55  ,   -6

1

-2

1

0

-5  ,   -2

0

1

-2

1

-5  ,   -2

-1

4

-5

2

55  ,   -6

Пятиточечная аппроксимация второй производной

35

-104

114

-56

11

-150 ,  12

11

-20

6

4

-1

15 ,  -3

-1

16

-30

16

-1

0 ,   2

-1

4

6

-20

11

15 ,   3

11

-56

114

-104

35

150 , -12

Шести точечная аппроксимация второй производной

225

-770

1070

-780

305

-50

50

-75

-20

70

-30

5

-5

80

-150

80

-5

0

0

-5

80

-150

80

-5

5

-30

70

-20

-75

50

-50

305

-780

1070

-770

225

Семи точечная аппроксимация второй производной

812

-3132

5265

-5080

2970

-972

137

137

-147

-255

470

-285

93

-13

-13

228

-420

200

15

-12

2

2

-27

270

-490

270

-27

2

2

-12

15

200

-420

228

-13

-13

93

-285

470

-255

-147

137

137

-972

2970

-5080

5265

-3132

812

 

Например, производная первого порядка в точках m=0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:

,

.

Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:

Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной  точке, включающие  значения функции в точках нужного окружения.

Просмотров: 1095

Вернуться в оглавление:Введение в численные методы



Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с. – На русск. яз.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.