русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Приведение к системе уравнений первого порядка

Выше были рассмотрены способы конечно-разностного представления дифференциальных операторов, которые позволяют свести дифференциальные уравнения к уравнениям в конечных разностях. При этом было отмечено, что лишь самое грубое представление производной – конечной разностью первого порядка, дает возможность реализовать само начинающуюся численную процедуру решения. Если эти методы переносить на системы дифференциальных уравнений высокого порядка, то в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями.

Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных  этими переменными.

Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:

где           – соответственно i-тая производная искомого

решения и ее значение в начальный момент,

 – функция, описывающая внешнее воздействие на динамический

объект.

Обозначим первую производную искомой функции новой переменной , первую производную  – следующей переменной: , первую производную  – переменной   и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем  дифференциальное уравнение первого порядка:

При таких заменах производных искомой функции  ее n-ная производная оказывается равной первой производной от  :

В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений  первого порядка примет следующий вид:

В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции   и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид

то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными   осуществляется по следующим формулам:

Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от .  Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.

И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:

Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:

Производные искомой функции    можно выразить через вновь введенные переменные    путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных  :

Умножив каждое выражение для    на коэффициенты  и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и  разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных  .

Система уравнений имеет вид:

 

 

В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:

где           – вектор известных коэффициентов,

 – вектор искомых коэффициентов,

 – соответственно прямая и обратная верхне-треугольные

матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:

.

Обратная матрица удобна при использовании математических пакетов для решения векторно-матричного уравнения. Если , то коэффициенты  легко вычисляются последовательной подстановкой значений , начиная с .

Начальные условия для  вычисляются по выражениям для  следующим образом:

или в векторно-матричной форме:

,

где         

.

Просмотров: 1857

Вернуться в оглавление:Введение в численные методы



Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с. – На русск. яз.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.