Итерационный процесс Ньютона

Вторым по важности и популярности итерационным процессом для случая аналитического задания системы уравнений и локализации области нахождения корня является итерационный процесс Ньютона.

 .

Пусть отклонение начального вектора искомого решения отличается от точного на величину , тогда, выполнив разложение в ряд Тейлора неявных функций  в окрестности  и ограничившись слагаемыми с частными производными первого порядка, получим систему уравнений для вычисления добавок к начальному вектору, приближающих последний к значению корня:

.

Обозначим частные производные  (). Система уравнений для вычисления вектора  будет:

,

где            – матрица, обратная матрице Якоби из частных производных:

 .

Итерационную процедуру Ньютона для вычисления корней нелинейной системы уравнений  можно в результате представить так:

,

.

Здесь верхний индекс в обозначениях частных производных указывает на подстановку в них значения x , полученного на k-той итерации.

Остановка итерационного процесса осуществляется тогда, когда по всем компонентам вектора x достигнута заданная относительная погрешность , т.е. должна быть истинной конъюнкция:

В одномерном случае итерации для уравнения  g(x)=0выглядят так:

Нетрудно заметить одну и ту же природу коэффициентов, стоящих перед значением функций у трех вариантов итерационных процедур и обеспечивающих сходимость процесса : все они учитывают значение производных в области нахождения нулей функции.