Рекуррентные формулы Адамса

Пусть теперь требуется найти решение уравнения

для которого уже каким-либо способом найдены k+1 значений решения , что, естественно, определяет и соответству-ющие значения . На основе построим интерполя-ционный многочлен k-той степени:

Приращение решения на внешнем интервале можно получить, проинтегрировав интерполяционный многочлен в интервале по переменной q, предварительно сделав замену переменных:

Интегралы в каждом слагаемом зависят только от i и определяют коэффициенты, с которыми повторные разности входят в выражение для приращения. Таким образом, экстраполяционная формула Адамса имеет вид:

где первые пять коэффициентов приведены в таблице

i	0	1	2	3	4

Появление нового значения требует для очередного шага вычислить новые значения повторных разностей. Для этого в таблице разностей заполняется по одной дополнительной клеточки в каждом столбце после одного-единственного вычисления правой части. В этом и состоит основное достоинство экстраполяционных формул.

В формулу Адамса вместо повторных разностей можно подставить их выражения через ординаты . Например, ограничившись , получим

Модификаций у формул Адамса много. Можно менять не только интерполяционные многочлены, но и вычислять приращения в пределах нескольких шагов. Наиболее простой получается формула для k=4, в которой приращение вычисляется на интервале в два шага :

Если построить интерполяционный многочлен Ньютона не от точки , а от точки и опять вычислить для k=4 приращение в интервале , то последнее может служить контролем за точностью вычислений:

Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с. – На русск. яз.