Рекуррентные формулы для решения разностных уравнений

Интегрирование системы нелинейных разностных уравнений первого порядка по Эйлеру аналитически  выполнить, как правило, не удается. Поэтому решение задачи получают в численном виде путем вычисления очередных значений процессов по рекуррентным формулам, начиная с известных начальных условий:

,

где           – очередное значение вектора решений,

 – вектор начальных значений.

Основной проблемой процесса численного интегрирования является выбор величины шага h. Формула Эйлера вносит в процесс численного решения погрешность, пропорциональную h. Это несложно увидеть, если сравнить вычисляемое при интегрировании уравнения выражение с первыми слагаемыми ряда Тейлора для точки :

.

По Эйлеру

,

или иначе:

,

а по Тейлору:

 ,

или иначе:

.

Отбрасываемые члены разложения  характеризуют погрешность формулы Эйлера, в которую входят слагаемые с  h  в первой степени и выше.

Результат интегрирования можно улучшить, если по найденному значению ,  вычислить значение производной, т.е. , и в формулу Эйлера ввести среднее арифметическое двух производных: для начала и для конца интервала . Модифицированная формула примет следующий вид:

Такого рода уточнения (итерации) можно повторять, пока в выражении

модуль разности станет  .

Погрешность модифицированной формулы будет пропорциональна . Это показывается аналогично предыдущему сопоставлению.

Продифференцируем исходное уравнение

и подставим выражение производной в ряд Тейлора. В результате получим:

Аналогичное  выражение  для  первых  двух  слагаемых  и  остаточного ряда  второй  степени  от  h  получается  и  для  модифицированной  формулы Эйлера, если в последней осуществить разложение   в ряд Тейлора по степеням h:

Усреднение производных с итерационным уточнением их для нескольких точек интервала особенно наглядно представлено в формулах Рунге-Кутта четвертого порядка :

где                         

Здесь производная вычисляется в трех точках интервала h (на концевых точках и дважды в средней точке интервала для итерационного уточнения), после чего окончательное приращение находится как взвешенное среднее.