Итерационный метод решения краевой задачи

Для нелинейной краевой задачи в обыкновенных производных, рассмотренный выше метод непригоден. Наиболее популярны два подхода: итерационное приближение к искомым начальным условиям (подбор по какой-либо стратегии) и конечно-разностное преобразование дифференциального уравнения в систему алгебраических.

Общий подход к конечно-разностному решению будет рассмотрен в п. 1.7.3. Здесь рассмотрим метод последовательного приближения. Для примитивного случая задания краевых условий, когда неизвестным является лишь одно из начальных условий, этот метод получил название "метод пристрелки". Он подобен методу простой итерации в процедурах поиска нулей функции одной переменной (корней уравнения).

Как известно, метод простой итерации сходится очень медленно и зависит от параметра, удачный выбор которого в окрестности нуля функции не может быть осуществлен без предварительного анализа производной и поведения этой функции в интервале поиска. Наиболее удачной процедурой итерационного поиска нулей функции  является метод Ньютона-Рафсона, который в качестве параметра итерационной формулы включает обратную величину от значения производной в текущей точке:

;       i=0, 1, 2, ...   .

Для начала итерационного процесса необходимо задать значение x=x0 в том интервале его изменения, где находится только интересующий нас корень (нуль функции). Достоинство этого метода состоит в том, что он обладает скоростью сходимости геометрических рядов. Для получения результата с относительной погрешностью в одну десятитысячную достаточно 3-5 итераций. Хотя теоретически можно построить такую функцию, которая и не приводит к решению, но практически такой случай для реальных зависимостей маловероятен. Возникновение такой ситуации можно обнаружить по увеличению числа итераций выше заданного, например, 10-15.

Заманчиво применить эту стратегию и для подбора величины начального условия. Однако здесь мы наталкиваемся и на недостаток этой итерационной процедуры: она требует знания аналитического выражения функции для того, чтобы определить выражение производной. Обойти это затруднение можно, если применить конечно-разностную аппроксимацию производной на значениях этой функции в нескольких точках, близких к  xi. Методы аппроксимации описаны ниже в п. 1.3.1.

Процедура поиска корней обобщается и на случай многомерных функций:

Итерации выполняются по следующим формулам:

Недостаток численного подхода к выполнению итераций по этим формулам в том, что функции должны быть представлены аналитическими выражениями.

В случае же применения итерационного решения к краевой задаче мы обнаруживаем, что искомая функция в задаче Коши представляется непрерывно изменяющимися значениями при однонаправленном изменении независимой переменной, чаще всего являющейся временем. Поэтому, значения функции, получаемые при конечных значениях независимой переменной, удалены от начальных значений независимой переменной, служащих аргументами этой функции, на длину интервала решения краевой задачи. И ко всему прочему, в качестве описания функции мы получаем графически или таблично представленную кривую.

Отдельно получаемые конечные значения функций решения в последовательно выполняемых итерациях всегда отстоят друг от друга по независимой переменной на шаг, равный интервалу решения краевой задачи. Постоянство этого шага открывает возможность использования аппарата конечных разностей для аппроксимации частных производных по нескольким очередным краевым значениям. Таким образом, требование аналитического задания функций и ее частных производных в процедуре поиска нулей по Ньютону, может быть снято, а формулы итерационной процедуры заменены приближенным выражением :

 ,

где     - конечные разности аргумента и функции.

Конечно-разностные выражения были рассмотрены в п. 1.3.1.