русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Метод преобразования краевых условий в начальные

Краевые задачи в обыкновенных производных можно разбить на два класса: линейные дифференциальные уравнения и нелинейные дифференциальные уравнения. Функция f(x,y) называется линейной, если она удовлетворяет следующему свойству:

 .

где    a, b - постоянные коэффициенты.

Для решения линейных краевых задач наиболее удобным является метод сведения краевой задачи к задаче Коши, благодаря следующим свойствам общих решений линейных дифференциальных уравнений:

  • общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного;
  • общее решение однородного уравнения равно сумме частных решений однородного уравнения, количество которых равно порядку уравнения;
  • коэффициенты при частных решениях вычисляются путем подстановки в общее решение и в производные общего решения заданных краевых условий.

 

Частным решением уравнения является решение, полученное при любом конкретном наборе начальных условий. Выбираются наборы, упрощающие процедуру нахождения решений.

Рассмотрим применение метода преобразования краевых условий в начальные на примере решения в интервале   краевой задачи второго порядка следующего вида:

 .

Учитывая перечисленные выше свойства линейных краевых задач, запишем общее решение так:

 .

Частное решение неоднородного уравнения  проще всего получать при нулевых начальных условиях.

Весовые коэффициенты C1 и C2 удобно выражаются через начальные условия общего и частных решений  и , если для получения каждого частного решения все начальные условия выбирать нулевыми, кроме одного. Количество таких различных наборов начальных условий равно порядку решаемого уравнения. Для данного случая это

    и    .

Подставив начальные условия в общее решения и его производную, получаем систему для аналитического выражения весовых коэффициентов через неизвестные начальные условия задачи :

 ,

.

Несложные преобразования дают   и , т.е. весовые коэффициенты пропорциональны искомым начальным условиям.

Решив однородное уравнение с частными наборами начальных условий, получаем значения частных решений и их производных в конечной точке:

 ,

,

.

Подставив теперь в выражения общего решения и его производной  и выражения весовых констант C1 и C2 , получим систему алгебраических уравнений с неизвестными :

Решение алгебраической системы уравнений методом Крамера приводит к следующим формулам для искомых начальных условий:

Пересчитав заданные краевые условия в начальные, исходное дифференциальное уравнение можем решить, как задачу Коши. Таким образом, решение линейной краевой задачи в обыкновенных производных сводится, при использовании этого метода, к решению одной и той же задачи Коши, но с различными начальными условиями. Число таких решений равно числу неизвестных начальных условий плюс один.

Просмотров: 1254

Вернуться в оглавление:Аналоговые и гибридные вычислительные устройства



Автор: Калашников В.И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства. Лабораторный практикум: Учебное пособие – Харьков: ХГПУ, 2000. - 194 с. - Русск. яз.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.