русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования

Значение функции на удалении h от некоторой точки  выражается рядом Тейлора через производные в этой точке:

,

где           - оператор дифференцирования по переменной x;

            - оператор сдвига, как функция оператора p;

hx                - шаг по оси действительной переменной x.

Из равенства конечно-разностного и непрерывного операторов сдвига получаем взаимосвязь линейных операторов pи :

,

Оператор дифференцирования n-го порядка по x, примененный к функции в точке, находящейся на 2 шага впереди, запишется так:

.

Если алгебраически перемножить многочлены с конечно-разностными операторами и ограничиться операторами со степенью не выше n, то получится одна из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Например, для n=2 и четырех точечном задании функции f(x), отбросив повторные разности выше третьего порядка, получим:

.

Выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим второй вариант аппроксимации оператора дифференцирования:

.

Для функции g(i) с целочисленным аргументом ( ) запись выглядит проще, так как , например:

 .

Для k-той производной в точке m от начала интервала [0,n]:

 

После выполнения операций возведения многочленов в фигурных скобках в степень и их перемножения, конечные разности со степенями больше n отбрасываются, как равные нулю, а оставшиеся  заменяются выражением . После раскрытия скобок, замены  на  и приведения подобных членов, получим аппроксимирующую сумму с (n+1)-ой ординатой функции:

.

Коэффициенты  минимальны для точек середины интервала (m=[n/2]) и максимальны - для крайних (m=0, m= n). Аналогично ведут себя и коэффициенты в выражении для погрешности аппроксимации.

Таким образом, для любой внутренней точки из выбранной группы n равномерно расположенных ординат можно сформировать аппроксимирующее выражение для k-той производной функции по действительной переменной или для конечной разности k-того порядка решетчатой функции целочисленного аргумента.

В таблицах 3-6 приведены коэффициенты аппроксимирующих выражений первой и второй производной по трем и пяти ординатам для каждой точки интервала [3].

Таблица 3. - Трех точечная аппроксимация первой производной

 

 

 

-3

4

-1

2

-1

0

1

-1

1

-4

3

2

Таблица 4. - Трех точечная аппроксимация второй производной

 

 

 

 

1

-2

1

-12  ,  2

1

-2

1

   0   , -1

1

-2

1

  12  , -2

Таблица 5. - Пяти точечная аппроксимация первой производной

 

 

 

 

 

 

-25

48

-36

16

-3

12

-3

-10

18

-6

1

-3

1

-8

0

8

-1

2

-1

6

-18

10

3

-3

3

-16

36

-48

25

12

Таблица 6. - Пяти точечная аппроксимация второй производной

 

 

 

 

 

 

35

-104

114

-56

11

-150 ,  12

11

-20

6

4

-1

  15 ,  -3

-1

16

-30

16

-1

   0 ,   2

-1

4

6

-20

11

 15 ,   3

11

-56

114

-104

35

150 , -12

В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке - коэффициенты  k1, k2  для формул погрешности.

Просмотров: 1726

Вернуться в оглавление:Аналоговые и гибридные вычислительные устройства



Автор: Калашников В.И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства. Лабораторный практикум: Учебное пособие – Харьков: ХГПУ, 2000. - 194 с. - Русск. яз.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.