Передаточные функции линейных дискретных блоков

При алгоритмической обработке сигналов в реальных объектах и их моделях в алгебраические выражения выходных переменных могут входить ординаты входных переменных, получаемые в различные дискретные моменты независимой переменной (например, времени).

Линейное выражение для объекта с одной входной переменной  и выходной переменной  представляется в общем случае конечно-разностным уравнением следующего вида:

.

Если значения входной и выходной переменных с помощью операторов сдвига привести к текущему (i-тому) моменту времени и вынести за знаки сумм, то текущие значения входной и выходной величин можно связать посредством конечно-разностного оператора, который называют дискретной передаточной функцией объекта:

,

где     - оператор сдвига в область прошлых значений.

Оператор сдвига в область прошлых значений (обратный оператор сдвига) осуществляет запоминание амплитуды входной величины и удерживает ее в течение одного кванта времени. Технически это реализуется фиксатором нулевого порядка (устройством выборки-хранения).

Соотношения и свойства конечно-разностных операторов позволяют включить оператор сдвига в формулы численного интегрирования, что актуально при аналоговом моделировании цифровых интеграторов.

Интегрирование входного сигнала  с шагом ht  по Эйлеру:

  или  ,

откуда получаем следующее соотношение для выходной переменной в любой дискретный момент времени:

.

Дискретная передаточная функция, определенная отношением выходной ординаты к входной в один и тот же дискретный момент времени, является конечно-разностным представлением оператора интегрирования по формуле Эйлера (формула прямоугольников):

.

Выражение  на протяжении i-го шага определяет приращение выходной величины. Если в начале i-го шага выходная величина была отлична от нуля, то ее, благодаря линейности конечно-разностных соотношений, можно прибавить к правой части:

.

Неявная формула интегрирования по Эйлеру (формула трапеций) имеет вид:

или

,

откуда

       и      .