Підмножина. Ставлення включення

Введемо ще одне важливе відношення між множинами - відношення включення.

Визначення. Нехай A і B - якісь два безлічі. Якщо будь-який елемент x множини A є елементом безлічі B, то говорять, що множина A є підмножиною безлічі B і позначають цей факт таким чином або .
Це ж визначення можна переписати на мові кванторов

"якщо елемент x належить множини A, то x належить безлічі B". З введеного визначення очевидно слід твердження, якщо і , то A = B, тобто множини A і B складаються з одних і тих же елементів.
Порожня множина за визначенням є підмножиною будь-якого безлічі множини A маємо, що .
Визначення. Підмножина A безлічі B, відмінне від самого безлічі B і називається власним підмножиною.
мовою кванторов це записується наступним чином: .
Це, так зване, "суворе" включення множини A в безліч B.

Приклади. однак інтервали [1,2] і (1,3] не відповідають ніяким умов включення - у кожному з цих множин є елементи не належать іншому безлічі.
Очевидні наступні властивості включень:
1)
2)
3) .
Визначення.  Підмножини B і безлічі B називаються його несобственными підмножини.

Порожнє і одноэлементное безлічі володіють тільки несобственными підмножини. Однак, якщо безліч містить принаймні, два елементи, то воно має і власні підмножини.
Приклад. Всілякі підмножини множини A = {a,b} суть { a}, { b}, { a, b}, {a}, {b} - власні підмножини безлічі A.