Навчальні завдання. Розв'язування задач графічним методом

Розглянемо застосування графічного методу для розв'язування деяких економічних задач.

Задача 2.1. Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема вона випускає дві моделі збірних книжкових полиць — А та В. Полиці обох моделей обробляють на верстатах 1 та 2. Тривалість обробки (у хвилинах) однієї полиці кожної моделі подано таблицею.

Час роботи верстатів 1 та 2 становить відповідно 40 та 36 год. на тиждень. Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А дорівнює 50 у. о., а моделі В — 30 у. о. Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці моделі А ніколи не перевищує попиту на модель В більш як на 30 одиниць, а попит на полиці моделі В не перевищує 80 одиниць на тиждень.

Визначити обсяги виробництва книжкових полиць різних моделей, що максимізують прибуток фірми. Побудувати економіко-математичну модель поставленої задачі та розв'язати її графічно.

Побудова математичної моделі. Змінними в моделі є тижневі обсяги виробництва книжкових полиць моделей А та В. Нехай х₁ — кількість полиць моделі А, виготовлюваних фірмою за тиждень, а x₂ — відповідна кількість полиць моделі В. Цільова функція моделі — максимізація прибутку фірми від реалізації продукції. Математично вона записується так:

Обмеження математичної моделі враховують час роботи верстатів 1 та 2 для обробки продукції та попит на полиці різних моделей. Обмеження на час роботи верстатів 1 та 2 набирають такого вигляду:

для верстата 1 - хв.;

для верстата 2 - хв.

Обмеження на попит набирають вигляду:

Отже, економіко-математичну модель поставленої задачі можна записати так:

Записана економіка-математична модель є моделлю задачі лінійного програмування, що містить лише дві змінні, і тому може бути розв'язана графічно.

Розв'язування. Перший крок згідно з графічним методом полягає в геометричному зображенні допустимих планів задачі, тобто в побудові такої області, де одночасно виконуються всі обмеження моделі. Замінюємо знаки нерівностей на знаки строгих рівностей і будуємо графіки відповідних прямих (рис. 2.9). Кожна з побудованих прямих поділяє площину системи координат на дві півплощини. Координати точок однієї задовольняють розглядувану нерівність, а іншої — не задовольняють. Щоб визначити необхідну півплощину (на рис. 2.9 її напрям позначено стрілкою), потрібно взяти будь-яку точку і перевірити, чи задовольняють її координати зазначене обмеження. Якщо задовольняють, то півплощина, в якій міститься вибрана точка, є геометричним зображенням нерівності. У протилежному разі таким зображенням є інша півплощина. Умова невід'ємності змінних обмежує область допустимих планів задачі першим квадрантом системи координат. Переріз усіх півплощин визначає область допустимих планів задачі, — шестикутник OABCDE. Координати будь-якої його точки задовольняють систему обмежень задачі та умову невід'ємності змінних. Тому поставлену задачу буде розв'язано, якщо ми зможемо відшукати таку точку многокутника OABCDE, в якій цільова функція Z набуває найбільшого значення.

Для цього побудуємо вектор , компонентами якого є коефіцієнти при змінних у цільовій функції задачі. Вектор завжди виходить із початку координат і напрямлений до точки з координатами . У нашій задачі вектор . Він задає напрям збільшення значень цільової функції Z, а вектор, протилежний йому, — напрям їх зменшення.

Побудуємо лінію, що відповідає, наприклад, значенню Z = 0. Це буде пряма , яка перпендикулярна до вектора і проходить через початок координат. Оскільки маємо визначити найбільше значення цільової функції, пересуватимемо пряму в напрямі вектора доти, доки не визначимо вершину многокутника, яка відповідає оптимальному плану задачі.

Із рис. 2.9 бачимо, що останньою спільною точкою прямої цільової функції та многокутника OABCDE, є точка С. Координати цієї точки визначають оптимальний план задачі, тобто обсяги виробництва книжкових полиць моделей А та В, що максимізують прибуток від їх реалізації.

Координати точки С визначаються перетином прямих (2.17) і (2.18):

Розв'язавши цю систему рівнянь, дістанемо . Отже, Це означає, що коли фірма щотижня виготовлятиме 50 збірних книжкових полиць моделі А та 60 — моделі В, то вона отримає максимальний прибуток 4300 у. о. При цьому тижневий фонд роботи верстатів 1 та 2 буде використано повністю.

Задача 2.2 Невелика птахоферма має розрахувати оптимальний кормовий раціон для 1000 курчат, яких вирощують до 8-тижневого віку. Нехтуючи тим, що тижневі витрати кормів для курчат залежать від їхнього віку, вважатимемо, що в середньому за 8 тижнів вони досягнуть маси 500 г. З цією метою кормовий раціон курчат має задовольняти певні вимоги поживності. Сформулюємо ці вимоги у спрощеному вигляді, ураховуючи лише дві поживні речовини: білок і клітковину, що містяться у кормах двох видів — зерні та соєвих бобах. Вміст поживних речовин у кожному кормі та їх вартість задано таблицею:

Готова кормова суміш має містити не менш як 20 % білка і не більш як 5 % клітковини.

Визначити масу кожного з двох видів кормів, що утворюють кормову суміш мінімальної вартості, задовольняючи вимоги до загальних витрат кормової суміші та її поживності.

Побудова математичної моделі. Нехай x₁ — маса, кг, зерна в кормовій суміші, а x₂ — вміст, кг, соєвих бобів у готовій кормовій суміші.

Загальна кількість суміші має становити не менш як 1000 • 0,5 = 500 (кг), тобто

Розглянемо обмеження щодо поживності кормової суміші.

1. Суміш має містити не менш як 20 % білка:

2. Суміш має містити не більш як 5 % клітковини:

Остаточно математична модель задачі оптимізації кормового раціону набирає такого вигляду:

Розв'язування. Графічну інтерпретацію задачі подано на рис. 2.10. Множина допустимих її розв'язків необмежена. Для вектора можна змінити масштаб, наприкладНайменшого значення цільова функція Z досягає в точці А, що лежить на перетині прямих (2.23) та (2.24). Визначимо її координати:

Отже, .

Знайдений оптимальний план задачі показує: для того щоб отримати 500 кг кормової суміші мінімальної вартості (262,50 у. о.), потрібно взяти 375 кг зерна та 125 кг соєвих бобів. При цьому вимоги до поживності кормової суміші виконуватимуться:

0,10 • 375 + 0,50 • 125= 100кг білка, що становить рівно 20 % загальної маси суміші;

0,02 • 375 + 0,08 • 125 = 17,5 кг клітковини в кормовій суміші, що становить 3,5 % її маси і не перевищує 5 %.

Задача 2.3.Фірма виготовляє два продукти А та В, що продаються відповідно по 8 та 15 центів за упаковку. Ринок збуту для кожного з них практично необмежений. Продукт А обробляється верстатом 1, а продукт В — верстатом 2. Далі обидва продукти упаковуються на фабриці. Схему виробництва продуктів А та В показано на рис. 2.11.

Ціна 1 кг сировини — 6 центів. Верстат 1 обробляє за годину 5000 кг сировини, а верстат 2 — 4000 кг сировини із втратами, що становлять відповідно 10 і 20%. Верстат 1 може працювати 6 год. на день, причому його використання коштує 288 дол./год.; верстат 2 – 5 год на день, що коштує 336 дол./год.

Маса однієї упаковки продукту А дорівнює 1/4 кг, а продукту В 1/3 кг. Фабрика може працювати 10 год на день, виготовляючи за 1 год. продукції на 360 дол. упаковуючи 12 000 продуктів А та 8000 продуктів В.

Відшукати такі значення х₁ та х₂ споживання сировини для продуктів А та В (у тисячах кілограмів), які забезпечують найбільший щоденний прибуток фірми.

Сформулюємо математично задачу й розв'яжемо її графічно.

Побудова математичної моделі. Нехай х₁ —кількість сировини, тис. кг, використовуваної для виготовлення продукту А, а х₂ —— кількість сировини, тис. кг, що йде на виготовлення продукту В.

Запишемо обмеження задачі. Згідно з умовою обмеженими ресурсами є час використання верстатів 1 і 2, а також час роботи фабрики з упакування продуктів А та В

1. Обмеження на використання верстата 1. Економічний зміст цього обмеження такий: фактичний час роботи верстата 1 з обробки сировини для продукту А не повинен перевищувати 6 год, тобто

Математично це запишеться так:

2. Обмеження на використання верстата 2 знаходимо аналогічно: