Азимутальні проекції. В прямих азимутальних проекціях (Рис. 2) меридіани відтворюються прямими лініями, які сходяться в одній точці,
Рис.2. Пряма азимутальна проекція
Кути δ між меридіанами рівні різниці довгот λ відповідних меридіанів на земній кулі. Відповідно, в даному випадку справедлива рівність δ=λ. Паралелі в прямих азимутальних проекціях відображають концентричними кругами, проведеними радіусами ρ1, ρ2, ρ3...
Полюс полярних координат знаходиться в точці співпадання, сходження меридіанів. За полярну вісь приймають один із меридіанів. Радіус паралелей ρ залежать від широти, тобто ρ=f(φ). Формули для вирахування ρ різні в залежності від тієї умови, яка ставиться перед проекцією, тобто яку проекцію, рівнокутну, рівновелику чи довільну треба одержати.
Для побудови проекцій вираховують прямокутні координати за формулами:
x = ρ· cos δ y = ρ · sin δ
Крім прямих азимутальних проекцій є ще поперечні (екваторіальні) і косі (горизонтальні) азимутальні проекції. В косих і поперечних проекціях меридіани і паралелі відтворюються кривими лініями, крім меридіану полюса полярної системи координат, який буде показаний прямою лінією і буде віссю симетрії проекції. В косих (горизонтальних) проекціях полюс азимутальних координат не співпадає з точкою сходження меридіанів, як в прямих проекціях. В цих проекціях полюс буде в точці z0 з координатами φ0 і λ0.
Якщо вираховувати координати точок з врахування розміщення z0 як центру, то в проекції одержимо умовну координатну сітку, по вигляд} подібну на географічну сітку прямої проекції, але прямі лінії які сходяться де центру, будуть не меридіанами, а вертикалами. Кола, проведені із точки сходження вертикалів як із центру, будуть не паралелями, а альмукантаратами. Нормальна сітка в даному випадку не співпадає з основною сіткою. Головні напрямки не співпадають з напрямками меридіанів і паралелей тобто з географічною сіткою). В косих і поперечних азимутальних проекціях застосовують систему азимутальних координат, де a - азимут і z - зенітна віддаль.
Якщо полюс z0 віддалений від полюса географічного Р на 90°, то о держимо поперечні (екваторіальні) азимутальні проекції; якщо ж полюс z0 знаходиться від географічного полюсу на віддалі, більше 0° і менше 90°, то будемо мати косу горизонтальну проекцію. Коли обидва ці полюси співпадають то ми маємо пряму (полярну) проекцію.
За властивостями відтворення азимутальні проекції можуть бути рівнокутними, рівновеликими і довільними.
Перспективні проекції. Картографічну сітку у перспективних проекціях проектують безпосередньо на картинну площину із точки зору Q), розміщену на діаметрі кулі, перпендикулярної картинній площині, або на його продовженні (Рис. 3). Земна поверхня приймається за поверхню кулі радіусу R.
Рис. З
В залежності від розміщення картинної площини відносно земної кулі в перспективних проекціях розрізняють різні три типи (Рис. 4):
прямі, або полярні, в яких картинна площина паралельна площині екватора;
поперечні, або екваторіальні, в яких картинна площина паралельна площині якого-небудь меридіану;
косі, або горизонтальні, в яких картинна площина паралельна горизонту якої-небудь точки.
В залежності від віддалі точки Q від земної поверхні проекції підлягають на чотири групи:
ортографічні проекції, в яких точка зору Q віддалена в безкінечність так, щоб проектування проводилось паралельними променями;
Рис. 4. Три положення картинної площини для одержання трьох типів проекцій
а) пряма (полярна); б) поперечна (екваторіальна);
в) коса (горизонтальна)
внутрішні проекції, в яких точка зору знаходиться на кінцевій віддалі від поверхні на яку проектуємо;
стереографічні проекції, коли точка зору находиться на самій поверхні на проектують;
центральні проекції, в яких точка зору розміщена в центрі кулі.
В прямих перспективних проекціях меридіани зображають прямими лініями, які сходяться в одній точці, а паралелі - концентричними колами, проведеними з точки перетин меридіанів, як-із центру. Головні напрямки в прямих перспективних проекціях співпадають з меридіанами і паралелями.
В косих і поперечних перспективних проекціях основна сітка (меридіанні паралелі) не співпадають з нормальною сіткою (вертикали і альмукан гранти), які мають азимутальні координати - азимут а і зенітну віддаль г.
Меридіани і паралелі в косих перспективних проекціях являють собою криві лінії. Головні напрямки тут співпадають з вертикалами і альмукантаратами.
Перспективні проекції мають плоскі полярні координати δ— полярний кут і ρ — радіус. Для побудови проекції вираховують прямокутні координати х і у.
ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО КАРТОГРАФІЧНІ ПРОЕКЦІЇ
Якщо судно, здійснюючи плавання між двома пунктами, йде постійним курсом, то воно пересікає всі меридіани під одним і тим же кутом. Лінія, що пересікає всі меридіани під постійним кутом, називається локсодромією (у перекладі з грецького - "кривий біг"). На поверхні земної кулі локсодромія зображується у вигляді спіралі, прагнучої до полюса, але що ніколи не його досягає (мал. 25). У окремих випадках при плаванні курсами 0 і 180° локсодромія збігається з меридіаном, а при плаванні курсами 90° і 270° - з паралеллю. Плавання по локсодромії, тобто постійним курсом, зручно. Це спрощує роботу судноводія. Недоліком плавання по локсодромії є те, що вона не є найкоротшою відстанню між крапками на земній поверхні. Найкоротшою відстанню між даними пунктами на земній поверхні є менша дуга великого круга, що проходить через ці крапки або ортодромія (у перекладі з грецького "прямий біг"). При невеликих переходах різниця в довжині між локсодромією і ортодромією незначна, нею нехтують і здійснюють плавання по локсодромії.
Морські навігаційні карти застосовують для графічного обліку рухи судна під час його плавання. Для цього на карті прокладають локсодромічні курси судна і пеленги на різні орієнтири.
Основні вимоги, що пред'являються до морської навігаційної карти:
Зі всіх видів картографічних проекцій в судноводінні знаходять найбільше вживання Меркаторська і гномонічна (центральна).
Рнс. Построение меркаторской проекини:
Масштаб карти визначається як відношення довжини прямою між двома крапками на карті до дійсної горизонтальної відстані між цими ж крапками
на місцевості. Розрізняють два види масштабу: числовий (чисельний) і лінійний.
Числовий масштаб - дріб, чисельник якого одиниця, а знаменник - число, що показує, скільком одиницям довжини на місцевості дорівнює одна одиниця на карті.
Лінійний масштаб може бути виражений числовою відповідністю одиниць довжини (наприклад, "З милі в 1 см") або графічно. На морських картах лінійний масштаб наносять на вертикальні рамки карти.
При розгортанні сфероидической поверхні Землі на площину виникають спотворення, унаслідок чого міра зменшення зображення в різних частинах карти різна. Іншими словами, масштаб карти міняється при переході від крапки до крапки. Масштаб, властивий даній точці карти, називається приватним. У заголовках карт вказується числовий масштаб, близький до середньому значенню приватних масштабів карт даного моря або району. Такий масштаб називається головним. Хвилина широти, тобто лінійна величина 1 хвилини дуги меридіана, є морською милею. Морські милі ображатимуться на Меркаторській карті різними по довжині ділянками меридіанів, що збільшуються у міру видалення від екватора. Графічне зображення 1-ої морської милі на Меркаторській карті на даній широті називається Меркаторською милею. Вимірювати відстань на карті слід Меркаторськими милями на відповідній їм широті.
- Проекція Гауса-Крюгера.
Система координат в рівнокутної проекції, яку тепер називають проекцією Гауса - Крюгера, була введена видатним німецьким вченим Карлом Фрідріхом Гаусом для роботки ганноверської тріангуляції (1821 -1825). У 1912 і 1919 рр.. її розвинув німецький геодезист Л. Крюгер. З тих пір вона стала називатися проекцією Гауса-Крюгера.
Проекція Гауса - Крюгера не має геометричної інтерпретації. Вона отримана аналітично шляхом розкладання комплексної функції від ізометричних координат в степеневий ряд. Проекція Гауса - Крюгера визначається трьома умовами: вона рівнокутна, зберігає довжини на середньому меридіані і симетрична щодо середнього меридіана і екватора. За складом вона є поперечною циліндричної проекцією. Циліндр стосується середнього меридіана зони, і на цей циліндр проектується вся зона при дотриманні перерахованих вище трьох умов.
У проекції Гауса-Крюгера поверхню земного еліпсоїда ділиться на трьох-або шестиградусні зони, обмежені меридіанами від полюса до полюса. Всього 60 шестиградусних або 120 Триградусне зон. Вони нумеруються із заходу на схід, починаючи з нульового меридіана, так, що до меридіану Гринвіча з заходу примикає 60-я (120-я) зона, а зі сходу - 1-а зона. У кожній зоні будується своя прямокутна система координат. Початок координат кожної зони знаходиться в точці перетину екватора з середнім (осьовим) меридіаном зони, що зображується на проекції прямою лінією і є віссю абсцис. Абсциси вважаються позитивними на північ від екватора і негативними на південь. Віссю ординат є екватор. Ординати додатні на схід і негативні на захід від осьового меридіана. При обчисленнях початок координат переносять в точку перетину осьового меридіана з середньою паралельністю карти. Для отримання ординат позитивного значення їх збільшують на 500000 м. Перед ординатою пишеться номер зони.
Такий вибір координатних осей дозволяє, по-перше, поряд з прямокутною системою координат використовувати полярну систему координат, зберігаючи в силі весь математичний апарат, де зазвичай вісь X орієнтована направо (на схід), а вісь V - вгору (на північ), і, по-друге, зберігати у людей звичку орієнтуватися щодо напрямку на північ.
У проекції Гауса-Крюгера масштаб зображення уздовж осьового меридіана то зберігається і дорівнює 1. Це видно з формули (1)
(1)
де φ - широта точки = 90 °.
Дослідження спотворень показали, що якщо взяти зону протяжністю по довготі в 3 °, то на краях зони лінійні спотворення на екваторі (φ = 0) досягають 1/3200. При зоні протяжністю в 6 ° найбільшу спотворення дорівнює 1/750. Спотворення в середніх широтах значно менше.
Координати точок х, у в проекції Гауса-Крюгера обчислюються за наступними формулами:
(2)
(3)
де X - довжина дуги меридіана від початку прямокутних координат до даної точки
φ - широта точки
λ - довгота точки
Крюгера запропонував помножити координати х, у на деякий множник <1 для того, щоб спотворення довжин на краях зони зменшити в два рази. Це реалізовано в проекції UТМ, використовуваної в США, в якій на осьовому меридіані приватний масштаб довжин mО = 0,9996, в результаті чого в проекції утворюються дві паралельні лінії нульових спотворень, розташовані на відстані близько 180 км по обидві сторони від нього. На кордоні зон в південних широтах приватний масштаб довжин приблизно дорівнює 1,0003.
У Росії для топографічних карт масштабу 1: 1000000 застосовують шестиградусні зони. Незручності виникають на стику двох сусідніх зон. На топографічних картах західної зони одна система координат, а на сусідніх листах карт східної зони-інша. Тому на стиках зон передбачені перекриття: західна зона розширена на схід, а східна - на захід. Цим надається можливість на стику зон користуватися картами в системі координат тільки однієї зони. Перекриття суміжних зон до широти 28 ° охоплюють смугу шириною по довготі на 1 °, на широтах від 28 ° до 76 ° - на 2 ° і на широтах більше 76 ° - на 3 °.
Для топографічних планів масштабу 1: 5000 і 1: 2000 застосовуються Триградусне зони, осьові меридіани яких збігаються з осьовими і граничними меридіанами шестиградусних зон. При зйомках міст і територій під будівництво великих інженерних споруд можуть бути використані приватні зони з осьовим меридіаном посередині об'єкта.
Таким чином, представляється аргументованим висновок, що проекція Гауса-Крюгера має свої переваги і недоліки. З одного боку, вона об'єднує такі позитивні якості, як невелике число зон, кожна з яких охоплює значну територію, обмежену двома меридіанами з різницею довгот в 3 " або 6 °; помірне і легко враховується зміна масштабів в межах зон; однаковість усіх зон; універсальність і глобальність координатних систем. З іншого боку, проекція Гауса-Крюгера має і значні недоліки. До них, насамперед, належать відсутність єдиної системи координат, внаслідок чого при моделюванні об'єктів, розташованих в декількох зонах, виникають певні проблеми, а також високі спотворення на краях зон.
Проекція Гауса-Крюгера — поперечна циліндрична рівнокутна картографічна проекція розроблена німецькими вченими Гаусом та Крюгером. Застосування цієї проекції дає можливість практично без суттєвих спотворень зобразити досить значні ділянки земної поверхні, і, що дуже важливо, побудувати на цій території систему плоских прямокутних координат. Ця система є найбільш простою і зручною при проведенні інженерних та топографо-геодезичних робіт.
В результаті досліджень було встановлено, що оптимальні розміри території зображення повинні обмежуватися меридіанами, віддаленими один від одного на 6°. Ця фігура отримала назву сфероїдального двокутника. Його розміри: 180° по широті (від полюса до полюса), і 6° по довготі. Не зважаючи на те, що площа зони в проекції (зони Гауса) буде збільшеною, відносні спотворення довжин у найвіддаленіших від середнього меридіана точках екватора на межі зони складатиме 1/800. Максимальні спотворення довжин в межах зони складає +0,14%, а площ - +0,27%, а в межах України - ще менші. Таким чином, спотворення довжин та площ в межах зони менші, ніж спотворення, що виникають при друці карти за рахунок деформації паперу. Зображення зони в проекції Гауса практично не має спотворень і допускає будь-які карто-та морфо метричні роботи.
Міністерство аграрної політики та продовольства України
Прилуцький агротехнічний коледж
