Векторна алгебра

1. Бажал Ю.М. Екологічна теорія технологічних змін: навч. посіб. / Бажал Ю.М. - К: Заповіт., 1996. – 238 с.

2. Дичковська О.В. Системи технологій галузей народного господарства: навч. посіб. / Дичковська О.В. – К.: ІСДО, 1995. – 312 с.

3. Дичковська О.В. Системи технологій. Збірник технологічних схем / Дичковська О.В., Благуляк О.С.- Тернопіль: Економічна думка. 1999.- 81 с.

4. Дубровин Ф.Е. Системы технологий: основные категории: учеб. пособ. для вузов / Под ред. Деречина В.В. – Ч. I . – Одесса: Латстар, 2001 – 200 с.

5. Економіка УкраЇни / [Заблоцький Б.Ф. та ін.]. – Львів: Львівскій банків-

ській коледж Нацбанку УкраЇни, 1997. – 580 с.

6. Розміщення продуктивних сил України / [Качан Є.П. та ін.]. – К.,1997. – 325 с.

7. Колотило Д.М. Екологія і економіка: навч. посіб. / Колотило Д.М. - К.: КНЕУ, 1999. - 368с.

8. Колотило Д.М. Системи технологій і екологія промисловості: навч. посіб. / Колотило Д.М. – К. : НМК ВО, 1992. – 220 с.

9. Лапко О.О. Економіка інновацій: навч. посіб. / Лапко О.О. – Івано-Франківськ : ІФДТУНГ , 1999 . – 136 с.

10. Метрологія, стандартизація і сертифікація / [Мороз В.І. та ін.]. – Х.: ХДАЗТ, 2000. – 78 с.

11. Остапчук М.В. Система технологій (за видами діяльності) : навч. посіб. / Остапчук М.В., Рибак А.І. – К., 2003. – 888 с.

12. Саранча Г.А. Метрологія, стандартизація, відповідність, акредетація та

управління якістю: підручник / Саранча Г.А. – К.: Центр навчальної літератури, 2006. - 672 с.

13. Системы технологий / под ред. проф. П.Д. Дудко. – [2-е изд., перераб. и доп.] – Х. : Бурун Книга, 2003. – 336 с.

14. Закон України «Про основні засади (стратегію) державної екологічної політики України на період до 2020 року» вiд 21.12.2010 № 2818-VI [Електронний документ]. – Режим доступу: http://zakon.rada.gov.ua

15. Йоханнесбургская декларация по устойчивому развитию [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://www.un.org/russian/documen/declarat/decl_wssd.html

16. Державний комітет статистики України – www.ukrstat.gov.ua.

Векторна алгебра

2.1 Аудиторні завдання

1. Задані точки А та В. Знайти координати векторів .

А(-2, -7, 3) та В (3, -1, 10).

2. Задані дві координати Х та У вектора . Визначити третю координату Z, якщо відомий модуль вектора .

X=4, Y= , | |=5.

3. Дано модуль вектора та кути a, b, g. Обчислити проекції вектора на координатні вісі.

| |=2, a=60°, b=120°, g=45°.

4. Вектор складає з вісями ОХ та OZ кути a та g. Який кут він складає з віссю ОУ?

a=5p/6 та g=p/2.

5. Вектор складає з координатними вісями ОХ та ОУ кути a та b. Обчислити координати вектора , якщо відомий його модуль| |=2.

a=60°, b=135°.

6. Вектори та складають кут j (0<j<p/2). Визначити та , коли відомі модулі векторів .

| |=1, | |= , j=30°.

7. Дані модулі векторів та . Обчислити .

8. Відомі модулі векторів та , кут між ними j. (p/2<j<p). Визначити та .

| |= , | |=2 , j=120°.

9. Дано: координати точок А, В та координати вектора . Знайти: а) напрямні косинуси вектора та ; порівняти абсолютні величини та напрямок даних векторів у випадку їх колінеарності.

=(6, 6, 0) А (1, -2, 3) В (4, 1,3)

10. Знайти модулі суми та різниці векторів і та

= ( 1, -2, 4)| (0, 1,-3).

11. Вектор розкладено за базисом . Знайти розклад за цим базисом вектора , протилежно напрямленого до вектора , якщо відомий модуль вектора .

= =12.

12. Дано чотири вектори , , , . Якщо вектори , , утворюють базис, знайти розвинення вектора за цим базисом.

= (2,-2, 1) (-3, -3.-1) = (1, 4, 3) = (0, 4, 3).

13. Визначити при якому значенні a вектори та взаємно перпендикулярні.

= =

14. Знайти роботу, яку виконує сила , рухаючись прямолінійно із точки C в точку В.

C (1,-3, 2) В(-2, 4, 1)

15. Вектор є перпендикулярним до векторів та і утворює з віссю OZ тупий кут. Знайти координати вектора , якщо відомий його модуль.

= (10, 2, -3) =(-5, 4, 9) 19.

16. Дані вектори і . Знайти вектор при умові, що він перпендикулярне до вісі ОУ і задовольняє умовам × =р і × =q.

=(5,-2, 3) =(-2, 3,-1) р=11 q=-3

17. Обчислити площу паралелограму, побудованого на векторах та . Знайти скалярний добуток .

=2 +3 = -2 , де

18. Дано вектори та . Знайти координати векторного добутку.

=(1,-2,1) =(3,-1, 2)

19. Знайти момент сили відносно точки С, якщо сила прикладена до точки А.

=(1,-2,1) А(2,-1, 4) С(-1,3,1)

20. Дано координати вершин трикутника АВС. Знайти довжину висоти ВD та внутрішній і зовнішній кут при вершині А.

А (-1, 2, 1) В (1, 3 ,4) С (2,-1, 3)

21. Дано вектори , , . Знайти їх мішаний добуток і з¢ясувати, праву чи ліву трійку утворюють дані вектори.

=(-1, 2, 1) =(3, -2, 1) =(1,-3,1).

22. З¢ясувати чи знаходяться чотири точки, координати яких задані, на одній площині.

А(-1, 2, 2) В(-3, 4, 1) С(2,-1, 1) D(-2, 1, 0)

23. Обчислити об¢єм тетраедра з вершинами у точках А, В, С, D та його висоту, опущену з вершини D на грань АВС.

А (7, 7, 3) В (6, 5, 8) С (3, 5, 8) D (8, 4, 1)

2.2 Індивідуальні завдання

2.2.1.Дано : координати точок А, В та координати вектора . Знайти: а) напрямні косинуси вектора б) перевірити колінеарність векторів та `а; порівняти абсолютні величини та напрямок даних векторів у випадку їх колінеарності.

1. =(-2,-6, 20), А(-3,-2, 6), В (-2, 1,-4)

2. =( 5, 17,-4), А(-2, 3,-5), В ( 8, 37,-13)

3. =(-4,-9, 3), А( 2,-2, 4), В ( 14, 25,-5)

4. =(-24,-10, 10), А( 3, 2, 1), В (15, 7,-4)

5. =(15,-30, 6), А( 6, 3, 7), В ( 1, 13, 5)

6. =(10,-26,-8), А(-1,-2,-4), В ( 4,-15,-8)

7. =( 3,-2,-5), А( 7, 2, 2), В (-2, 8, 17)

8. =(-1, 9,-2), А( 1,-5,-9), В ( 3,-23,-5)

9. =( 17,-4, 5), А( 6,-5,-3), В ( 40,-13, 7)

10. =(-9, 3,-4), А( 3, 4,-6), В (30,-5, 6)

11. =(-10, 10,-24), А( 2, 3,-10), В ( 7,-2, 2)

12. =(-30, 6, 15), А(-7, 1,-2), В ( 3,-1,-7)

13. =(-26,-8, 10), А( 6, 3,-2), В (-7,-1, 3)

14. =(-2,-5, 3), А(-1,-7, 8), В ( 5, 8,-1)

15. =(-9, 2, 1), А(-2,-5, 5), В (-20,-1, 7)

16. =(-2,-6, 20), А( 4, 2, 0), В ( 5, 5,-10)

17. =( 5,-1, 7), А(-7, 5,-3), В ( 3, 3, 11)

18. =(-8, 9, 1), А( 1, 5,-2), В (-23, 32, 1)

19. =( 3,-4, 2), А( 5, 8,-1), В (-4, 20,-7)

20. =( 3,-5, 5), А(-3, 5,-14), В ( 3,-5,-4)

21. =( 10,-26,-8), А(-10, 9, 8), В (-5,-4, 4)

22. =(-9, 6, 15), А( 13,-1, 6), В ( 16,-3, 1)

23. =(-1, 9,-2), А( 5,-6,-1), В ( 7,-24, 3)

24. =( 5, 17,-4), А(-3, 6,-5), В ( 7, 40,-13)

25. =(-4,-9, 3), А(-6, 3, 4), В ( 6, 30,-5)

26. =(-24,-10, 10), А(-10, 2, 3), В ( 2, 7,-2)

27. =( 15,-30, 6), А(-2,-7, 1), В (-7, 3,-1)

28. =( 10,-26,-8), А(-2, 6, 3), В ( 3,-7,-1)

29. =( 3,-2,-5), А( 8,-1,-7), В (-1, 5, 8)

30. `а =( 1,-9, 2), А( 5,-2,-5), В ( 7,-20,-1).

2.2.2 Знайти модулі суми та різниці векторів і ` , .

1.	=( 1,-2,0 ),	=( 2,-4,-2 )
2.	=( 9,-6,-11 ),	=( -17, 7, 15 )
3.	=( -3, 5, -8 ),	=( -1, 1, -4)
4.	=( 1, -3, 5 ),	=( -11, 13, -10 )
5.	=( -4, 5, 1 ),	=( -5, 13, 5 )
6.	=( 6, -2,-2 ),	=( -9, 8, 4 )
7.	=( 4, 0, 8 ),	=( 8, -8, 16 )
8.	=( 1, 3, -7 ),	=( -2,-1, 5 )
9.	=( 0, 10, -20 ),	=( -10, 5, -10 )
	=( 4, 0, -1 ),	=( -4, 4, -2 )
11.	=( -2, 0, 1 ),	=( -4,-2, 2 )
12.	=( -6, -11, 9 ),	=( 7, 15, -17 )
13.	=( 5, -8, -3 ),	=( 1,-4, -1 )
14.	=( -3, 5, 1 ),	=( 13, -10, -11 )
15.	=( 5, 1, -4 ),	=( 13, 5, -5 )
16.	=( -2,-2, 6 ),	=( 8, 4, -9 )
17.	=( 0, 8, 4 ),	=( -8, 16, 8 )
18.	=( 3,-7, 1 ),	=( -1, 5,-2 )
19.	=( 10,-20, 0 ),	=( 5,-10, -10 )
20.	=( 0,-1, 4 ),	=( 4,-2,-4 )
21.	=( 0, 1,-2 ),	=( -2, 2,-4 )
22.	=( -11, 9,-6 ),	=( 15, -17, 7 )
23.	=( -8,-3, 5 ),	=( -4,-1, 1 )
24.	=( 5, 1,-3 ),	=( -10,-11, 13 )
25.	=( 1, -4, 5 ),	=( 5,-5, 13 )
26.	=( -2, 6, -2 ),	=( 4, -9, 8 )
27.	=( 8, 4, 0 ),	=( 16, 8, -8 )
28.	=( -7, 1, 3 ),	=( 5, -2, -1 )
29.	=( -20, 0, 10 ),	=( -10,-10, 5 )
30.	=( -1, 4, 0 ),	=( -2,-4, 4 )

2.2.3. Вектор розкладено за базисом `i, , . Знайти розклад за цим базисом вектора `d, протилежно напрямленого до вектора `с, якщо відомий модуль вектора `d.

1.	=( -9; 3; -4,5 ),	21	2.	=( 1;-1,5; 3 ),	35
3.	=( 2;-4; -4),	3	4.	=(-2; 1; 2 ),	39
5.	=( ; -5 ; 4 )	25	6.	=( 1; 2 ; -2 )	6
7.	=(-1; 2; 2/3 ),	7	8.	=(1,2; 3; -2 )	19
9.	=( 16; -2; -8 ),	9	10.	=(2, 0;-1,5 ),	10
11.	=(-1;-1,5; 3 ),	21	12.	=( -2; -4; 4)	12
13.	=(-9; -12; 36 ),	13	14.	=( 2; 3; -6 ),	14
15.	=( 2; 2;-1 ),	15	16.	=(10; ;-5 ),	35
17.	=( 3; -1; 1,5 ),	7	18.	=(1; -3; 1,5 )	28
19.	=(-30; 20; 12 ),	19		=(-7,5;5;15 ),	35
21.	=( 3; -6, -2 ),	21	22.	=( -2, -2; 1 ),	12
23.	=( 5; 2,5; -5 ),	15	24.	=(2; 4; ),	14
25.	=( -3; -4; ),	25	26.	=(-3; 6; -2 ),	35
27.	=( 1; 1; -0,5 ),	6	28.	=(-3; 2; -6 ),	28
29.	=( 5; -3; 7,5 ),	19		=(0;-28; 21),	5

2.2.4. Дано чотири вектори: ` . Якщо вектори утворюють базис, знайти розвинення вектора `m за цим базисом.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

2.2.5 Знайти орт вектора .

1.	( 12, 9, -8)	2.	( 12, -8, 24)
3.	( 0, 4,-3)	4.	( 3,4,-12)
5.	( 16, -8, 16)	6.	(-15,-10, 30)
7.	(15, 10, 6)	8.	(-18, 6, 9)
9.	( 2, 9,-6 )	10.	( 26, -13, -26)
11.	( 12, -16, 15)	12.	( 10, -10, 5)
13.	(-12, 24, -3)	14.	( 2,-8, 16)
15.	(-3, 18, 14)	16.	( 8, 4, -8)
17.	(-30, 24, -32)	18.	(12, 30, -20)
19.	( 4,-6, 12)	20.	(2,-4,4 )
21.	(-8, 0, 6)	22.	(12, -4, 18)
23.	(16, -18, 24)	24.	(28, -6, 36)
25.	( 2, -2, 1)	26.	( 1, 8 ;4 )
27.	( 20, 0, 21 )	28.	( 12, -16, 0 )
29.	( 3, 6 ,-2 )	30.	( 24, -8,-6 )

2.2.6. Скалярний добуток векторів

В трикутнику АВС =`а, =`b Виразити через вектори `а та `b вектор ( ВК ^ АС, К є АС).	У паралелограмі АВСD . Виразити через вектори `а та `b вектор (DK^BC, KÎBC)
У ромбі АВСD , Виразити через вектори `а і `b вектор (АК^ВС, КєВС).	В трикутнику АВС =`а, = . Виразити через вектори`а та `b вектор (СК ^ АВ, К є АВ).
В трапеції АВСD . Виразити через вектори `а та `b вектор (СК ^ АD, Кє АD ).	В трикутнику АВС , =`b.Виразити через вектори `a та `b вектор ( )
	A
В трапеції АВСD . Виразити через вектори `а та вектор (СК ^ АВ, Кє АВ ).	У ромбі АВСD , Виразити через вектори `а і `b вектор (DК^AВ, КєAВ).
В рівнобедреному трикутнику АВС , . Виразити через вектори ` та вектор (BD ^ AС, D є AС).	В трапеції АВСD .Вирази ти через вектори `а та `b вектор , (CB^AB).
B A
В трапеції АВСD ÐА=ÐB=60°, . Виразити через вектори `а та `b вектор .	В трапеції АВСD ÐА=30°, . Виразити через вектори `а та ` вектор .
	C N B A
В трапеції АВСD ÐА=ÐB=45°, . Виразити через вектори `c та `b вектор .	В трикутнику АВС =`c, =`b, ÐА==45°, Виразити через вектори `b та `с вектор (BN ^АC, N є АC).
	A D B
В трапеції АВСD ÐB=60° . Виразити через вектори `c і вектор .	У трикутнику АВС , ÐB==30°, Виразити через вектори ` та `b вектор (CD ^ АB, D є АB).
В трапеції АВСD ÐB=ÐC=60° . Виразити через вектори `c і вектор	В трикутнику АВС ÐC==30° . Виразити через вектори `b та `c вектор (DА ^ ВC, DÎBC).
В трапеції АВСD ÐА=60°, . Виразити через вектори `а та `b вектор	В ромбі АВСD ÐB=60°, =`с, . Виразити через вектори `с та `b вектор .(АM ^ ВС, M є ВС).
В трапеції АВСD ÐCАB=30°, Виразити через вектори `а та `b вектор (CK ^ AB, KÎAB)	В трикутнику АВС ÐB=60° , =`b .Виразити через вектори `c та `b вектор (СМ ^ АВ, М є АВ).
A B M C D	A
В паралелограмі АВСD = , = . Виразити через вектори `b та `c вектор (АМ ^ DС, М є DС).	В трапеції АВСD . Виразити через вектори `b і `а вектор (DА ^ AB).
C B A <== попередня лекція | наступна лекція ==> Додаткова література | АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ	Онлайн сервіси Онлайн система числення Калькулятор онлайн звичайний Науковий калькулятор онлайн