Чисту одиночну премію деколи плутають з поточним значенням . Ці значення не співпадають; насправді справедлива нерівність
. (7.1)
З врахуванням (6.7) и тотожності , де - число повних років до смерті людини в віці , справедлива рівносильна нерівність
. (7.2)
Кожна з цих нерівностей є прямим наслідком нерівності Йєнсена; наприклад, друга нерівність означає
, (7.3)
що очевидно, оскільки є випуклою функцією від .
Метою розділу є узагальнення цих нерівностей. Будемо розглядати чисту одиночну премію , як функцію сили відсотка :
; (7.4)
це є перетворення Лапласа розподілу змінної . Визначимо також функцію
, . (7.5)
Для малих значень можна апроксимувати (7.4) величиною . Тому існує і має значення
. (7.6)
Лема. Функція монотонно зростає
Для доведення візьмемо два додатних числа і покажемо, що
. (7.7)
З нерівності Йєнсена випливає
. (7.8)
Тому
, (7.9)
звідки маємо (7.7), що й доводить лему.
З леми випливає, що , тому
. (7.10)
З (7.6) можна також знову отримати нерівність (7.2).
Розглянемо три різні сили відсотка . З леми маємо
, (7.11)
тому
, (7.12)
що дозволяє оцінити за значеннями і .
Наприклад, нехай
для ,
для .
Тепер можна знайти границі для чистих одиночних премій і при . З (7.12) при
, ,
відразу маємо
.
З тотожності отримуємо
.
Замінивши на і на
, , (7.13)
отримуємо нерівності
, (7.14)
, (7.15)
(7.16)
за допомогою аналогічних міркувань.
Перші дві похідні функції дорівнюють
,
. (7.17)
Таким чином - монотонно спадна і опукла функція від . Тому довільна частина кривої лежить нижче січної
, (7.18)
але вище дотичних
,
. (7.19)
Деколи оцінки (7.18), (7.19) виявляються кращими від оцінки (7.12). Для наведеного прикладу верхня оцінка, яка отримана з (7.18), має вид
.
Нижня границя для також покращена
.