Рекурсивні формули можуть бути використані для написання алгоритмів і, крім цього, вони мають цікаву теоретичну інтерпретацію.
Почнемо з безтермінового контракту страхування одиничної суми з виплатою наприкінці року смерті. Очевидно, справедливим є рівняння
. (6.1)
Таким чином, значення можуть бути знайдені рекурсивно, починаючи з максимально можливого віку. Рекурсивне рівняння може бути доведене алгебраїчно підстановкою співвідношення
(6.2)
у всі доданки, крім першого, суми (2.3). Імовірнісне доведення може бути побудоване на властивості
. (6.3)
Змістовна інтерпретація (6.3): чиста одиночна премія для віку дорівнює очікуваному значенню випадкової змінної, визначеної як дисконтована сума страхування у випадку смерті протягом року, і дисконтової чистої одиночної премії для віку у випадку виживання.
Друга інтерпретація також стає очевидною, якщо ми запишемо (6.1) у вигляді
. (6.4)
Перш за все, кількість потрібно зарезервувати в будь-якому випадку (смерть чи виживання). У випадку смерті додаткова сума необхідна для забезпечення виплати. Чиста одиночна премія термінового контракту терміном на 1 рік з такою страховою сумою дорівнює .
Застосувавши (6.4) до віку , ми отримаємо
, . (6.5)
Помноживши попереднє рівняння на і сумуючи за всіма значеннями , отримуємо
, (6.6)
так що чиста одиночна премія для віку , очевидно, дорівнює сумі чистих одиночних премій серії термінових однорічних контрактів.
Рівняння (6.4) можна також записати у вигляді
. (6.7)
Таким чином, дохід по відсотку має подвійну дію: з однієї сторони він збільшує чисту одиночну премію (від віку до віку ), с іншої сторони, він покриває терміновий фіктивний однорічний контракт.
Неперервним аналогом рекурсивної формули є диференційне рівняння. Розглянемо , яке є очікуваним значенням для . При ми маємо
. (6.8)
Звідси
. (6.9)
Поділивши на і спрямовуючи , отримуємо
. (6.10)
Це рівняння можна переписати в формі, аналогічній (6.7):
. (6.11)
Диференційне рівняння має аналогічну (6.7) інтерпретацію для нескінченно малого інтервалу часу, що очевидно при множенні (6.11) на .