В початковий момент часу t=0 дві інерціальні системи відліку(k i k') зміщено(їх центри в одному місці), а протягом певного часу система рухається від умовно-нерухомої системи зі швидкістю , причому вісі OX і співпадають, а і та і будуть попарно-паралельні між собою.
Рис. 2
Знайдемо зв’язок деякої матеріальної точки Р між системами k і . Положення матеріальної точки в просторі задається радіус-вектором.
Вважаємо, що час в обох системах протікає однаково, тобто . Знайдемо радіус-вектор r:
Координата x: .
Координати y i z: ,
. (6)
Система рівнянь (6) називається перетвореннями Галілея. Ці рівняння дають змогу отримати закон відносно однієї з інерціальних систем, якщо він відомий відносно іншої системи, шляхом зміни координат.
Якщо швидкість буде сталою( ), то перетворення Галілея будуть мати вигляд:
. (7)
Слід відмітити, що перетворення Галілея справедливі в області механіки малих швидкостей і не використовується в механіці великих швидкостей, так як в останньому випадку час протікає неоднорідно в різних системах відліку( ) і при великих швидкостях перетворення Галілея змінюються перетвореннями Лоренца.
Якщо продиференціювати за часом рівняння (6) і (7), знайдемо зв’язок між швидкостями в системі k і :
для рівняння (6).
для рівняння (7).
Якщо швидкість буде величиною сталою( ), то і . Таким чином і , тобто якщо точка Р відносно системи рухається прямолінійно і рівномірно і сама система відносно системи k рухається рівномірно і прямолінійно, то точка Р відносно системи k рухається рівномірно і прямолінійно. Таким чином, 1-ий закон Ньютона виконується для усіх інерціальних систем. Якщо , , тоді , тобто відносно неінерціальної системи відліку 1-ий закон Ньютона не виконується.
Якщо продиференціювати по часу , знайдемо зв’язок між прискореннями точки Р відносно систем відліку, що розглядаються:
. (8)
Якщо вісі X і не співпадають, але переміщуються паралельно одна одній, то рівняння (6) можна записати:
при умові, що .
Звідси рівняння для знаходження матеріальної точки:
. (9)
Системи рівнянь (9) – перетворення Галілея. Ці формули справедливі в рамках класичної механіки.
Якщо продиференціюємо систему рівнянь по часу, отримаємо:
- закон додавання швидкостей.