Очевидно, що матриця є узагальненням поняття числа (число можна розглядати як матрицю розмірності 
), отже для матриць можна визначити операції аналогічні операціям над числами., але деякі з них мають специфічні властивості по відношенню до відповідних операцій над числами.
1. Множення матриці А на число 
. Добутком матриці А на число називається матриця В= А, елементи якої розраховуються за формулою 
.
2. Додавання матриць. Сумою двох матриць А та В однакової розмірності називається матриця С=А+В, елементи якої розраховуються за формулою 
.
3. Транспонування матриць. Транспонованою до матриці А називається матриця 
, елементи якої розраховуються за формулою 
.
4. Множення матриць. Операція множення матриці А на матрицю В визначена, якщо кількість стовпчиків першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці, тобто 
, 
. За цієї умови добутком матриць А та В називається матриця С розмірності 
, елементи якої розраховуються за формулою 
.
Приклад 1. Обчислити добуток 
матриць 
та 
.
Очевидно, що 
, 
, отже 
.
= = 
= = 
.
Зауваження. Операція множення матриць має специфічні властивості порівняно з операцією множення чисел.
a) З того, що існує добуток 
, не випливає, що існує добуток 
. Зокрема, для матриць з прикладу 1 не існує добутку .
b) Якщо навіть добутки та існують, то вони можуть мати різні розмірності. Очевидно, що розмірності цих добутків рівні, якщо А, В є квадратними матрицями однакової розмірності.
c) У випадку, коли добутки та існують та мають однакову розмірність, взагалі кажучи, 
, тобто порушується комутативний (перестановочний) закон.
Приклад 2. 
, 
.
, 
, тобто .
В частинному випадку комутативному закону задовольняє добуток довільної квадратної матриці А на одиничну матрицю відповідної розмірності, тобто 
. З цього випливає, що одинична матриця при множенні матриць відіграє ту ж роль, що й число 1 при множенні чисел.
d) Добуток двох ненульових матриць може бути нульовою матрицею.
5. Піднесення матриці А до цілого додатного степеня s позначається 
та визначається як добуток s матриць рівних А, тобто 
. Очевидно, ця операція визначена лише для квадратних матриць.
6. Ділення матриць. Введемо цю операцію по аналогії з діленням чисел: частку 
можна розглядати як добуток числа b на обернене до числа a, тобто 
, де обернене число 
визначається із співвідношення 
.
Оберненою до матриці А називається матриця 
, що задовольняє співвідношення 
, де Е – одинична матриця. Очевидно, що обернену можна визначати лише для квадратних матриць (оскільки інакше розмірності добутків будуть різними).
Оскільки закон комутативності для матричного множення на виконується, то можна визначити два різних ділення матриці B на матрицю A: ділення зліва 
та ділення справа 
за умови, що обернена матриця 
існує.
1.4. Елементарні перетворення над матрицями
До елементарних перетворень над матрицями відносяться:
1) перестановки місцями двох рядків (стовпчиків) матриці;
2) множення рядка (стовпчика) матриці на ненульове число;
3) додавання до рядка (стовпчика) матриці іншого її рядка (стовпчика), помноженого на довільне число;
4) викреслення нульового рядка (стовпчика) матриці.
ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ ФІЗИКИ
Лекція 1
1.1. Предмет і метод фізики
1.1.1. Фізика та її зв’язок з суміжними науками
Фізика – наука про найбільш загальні властивості і форми руху матерії. Закони фізики можуть бути як ті, що формують наукову картину світу і розвивають прогрес, діяльність людського суспільства, так і ті, що направлені на знищення людського суспільства.
Фізика – наука про найбільш прості, але загальні об’єктивні властивості в просторово-часових законах матерії, яка рухається; кількісних і якісних її змінах, що пов’язані з будовою, взаємодією і перетворенням усіх її видів і станів.
Фізика вивчає швидкість, прискорення, силу, роботу і енергію у всіх процесах, що відбуваються.
Матерія – об’єктивна філософська категорія для позначення об’єктивної реальності, яка дана людині в її відчуттях; яка копіюється, фотографується, відображається нашими відчуттями, існуючи незалежно від них. Матерія: те, що існує об’єктивно; непізнаваєма. Існує 2 типи матерії: речовина (атоми, молекули і все, що побудоване з них) і поле (електромагнітне, гравітаційне та інші поля). Різні типи матерії можуть перетворюватись одна в одну; наприклад, електрон і позитрон – в протони. Матерія існує тільки в русі. Рухається в просторі і часі, що є формами існування матерії. Таким чином, фізика пізнає просторово-часові закони руху матерії.
Фізика має спільні об’єкти і методи дослідження з іншими природничими науками, внаслідок чого виникли цілі галузі знань: фізична хімія, хімічна фізика, хімічна термодинаміка, астрофізика, біофізика, геофізика та ін.
Основою сучасної фізики є математика. Математичний апарат широко використовується при обробці й узагальненні експериментальних
результатів.
Без математики не могли бути створені теорія електромагнітного поля, статистична теорія, термодинаміка, теорія відносності, квантова механіка тощо. Ці теорії дають змогу передбачати нові закономірності, робити узагальнені висновки, а іноді й відкриття. Теоретично було передбачено існування електромагнітних хвиль, хвильових властивостей елементарних частинок, існування нейтронів, нейтрино та ін. Розв'язання проблем фізики, в свою чергу, стимулює розвиток математики.
