Топологічна розмірність

Топологічна розмірність визначається індуктивним способом і тому інколи називається індуктивною розмірністю. Більш точно розглядаються мала та велика індуктивні розмірності. Але вони обидві співпадають для підмножини ,розглядом якої ми обмежимося. До кінця цього параграфу термін ”розмірність Е” буде означати топологічну розмірність

Для порожньої множини покладемо:

Розмірність довільної неперожньої множини відрізняється від -1.

Множина Е має розмірність в тому випадку, якщо для кожного і для довільної відносної відкритої множини U, що містить х, існує така відносно відкрита множина V, що і (Нагадаємо, що позначає границю ). Прикладом множини розмірності 0 є множина рвціональних чисел Q на дійсній осі R. При даній відносно відкритій множині U, що містить x, V є перетином Q з відкритим інтервалом, що має ірраціональні скінченні точки і що міститься в U. Границя V складається із двох ірраціональних граничних точок, які не належать Q.

Розмірність довільної зліченна множина простору дорівнює 0. Більш важливий з точки зору фрактальної теорії результат формулюється у вигляді наступної теореми.

Теорема 1. Топологічна розмірність класичної множини Кантора дорівнює нулю.

Теорема 2. Топологічна розмірність дійсної прямої дорівнює

Теорема 3. Топологічна розмірність компактної множини дорівнює нулю в тому і тільки в тому випадку, якщо А цілком незв'язне.

Теорема 4. Топологічна розмірність простору дорівнює