Маємо наступні характеристики:
При нагріві тонких тіл ( з безмежною теплопровідністю)
При нагріві масивних тіл ( з обмеженою теплопровідністю)
Розглянемо перетворення диференціального рівняння теплопровідності у безрозмірний ( критеріальний) вигляд.
Для прикладу візьмемо диференційне рівняння теплопровідності для пластини
( 4.19 )
Змінна х у цьому рівнянні приймає значення від 0 до S. Якщо х розділити на інтервал її зміни отримаємо . Ця зміна приймає значення від 0 до 1.
Змінна Х у цьому рівнянні і має нульову розмірність ( ).
Змінна t ( температура) може приймати значення від tо до tпеч.. Розділимо t
на величину її інтервалу. Отримаємо безрозмірну величину
Виконаємо над рівнянням ( 4.19) деякі операції
або
. ( 4.20 )
Отримали диференційне рівняння теплопровідності у безрозмірному вигляді, де
- критерій Фур,є (безрозмірний час).
У цьому виразі величина називається інерційним часом. Ця характерна величина для тіла з товщиною S та коефіцієнтом температуропровідності . По смислу вона становить час, який потрібен для того, щоб теплота, яку отримала поверхня, дійшла до центра тіла.
Надалі при розв’язанні задач теплопровідності зустрічається критерій Біо
.
По змісту критерій Біо визначає відношення внутрішнього опору об’єкта до зовнішнього і характеризує термічну його масивність. На практиці прийнято вважати
- тонке тіло; - масивне; - проміжне.
Беручи до уваги суть критерія Біо, ясно, що термічна масивність тіла залежить від співвідношення між внутрішнім та зовнішнім тепловими опорами, куди входять три величини: геометричний розмір, коефіцієнт теплопровідності та коефіцієнт тепловіддачі.
4.8 Розв,язання диференційного рівняння теплопровідності
Існує декілька способів розв’язання диференційного рівняння теплопровідності. Зупинимось на методі розділення змінних.
Будемо шукати розв,язок для функції у вигляді добутку двох функцій:
, ( 4.21 )
де залежить тільки від , а - тільки від . Підставимо розв,язок (4.2) у рівняння (4.19), отримаємо
,
тобто
Ліва частина (4.22) залежить тільки від , а права тільки від . Рівнясть має виконуватись при будь-яких значеннях та . Це можливо тільки тоді, коли ліва та права частини ( 4.22) дорівнюють сталій величині
; ( 4.23 )
( 4.24 )
Після інтегрування (4.23) маємо
.
Із фізичних міркувань температура не може досягнути нескінченності. Тому має бути виконана умова вважаємо .
Тоді
( 4.25 )
( 4.26 )
Звичайні диференційні рівняння мають такі розв,язки
( 4.27 )
або . ( 4.28 )
Таким чином
,
або
Взагалі кажучи, маємо
( 4.29 )
Постійні величини С, D і визначаються із крайових умов задачі. Оскільки кількість цих величин нескінченна, то
( 4.30 )
Велиина має бути безрозмірною. Це можливо, якщо , а
Тоді маємо
( 4.31 )
Виходячи із загального розв,язку ( 4.31), можна отримати розв,язок задачі теплопровідності для конкретних граничних умов.
Граничні умови I-го роду
-умова на поверхні;; -умова симетрії;
-початкова умова.
Сформульована математично задача теплопровідності відповідає умовам нагріву необмеженої пластини, що має рівномірно розподілену по об’єму початкову температуру , симетрична відносно центральної площини, а на поверхні у початковий момент часу встановлюється постійна температура .
Для цього випадку маємо функцію температури
( 4.32 )
де
.
Граничні умови II-го роду
Розглянемо ту ж ситуацію, окрім умови на поверхні пластини, де через поверхню проходить постійний тепловий потік
( 4.33 )
Маємо температурну функцію
( 4.34 )
де
.
Граничні умови III-го роду
Розглядаємо той же об ,єкт з тими ж умовами, окріма умови на поверхні
( 4.35 )
де
- температура навколишнього середовища.
Температурна функція
, ( 4.36 )
де
- корені трансцендентального рівняння
.
Рисунок 4. 3. Графічне визначення коренів
Розглядаючи температурні функції об’єкта , можна зробити висновок, що метод розділення змінних ( класичний метод) дає інформацію про те, що в момент підведення теплоти до поверхні об’єкта вона розповсюджується на всю товщину тіла. Інженерна модель трактує, що теплота охоплює тіло пошарово, приймаючи до уваги інерційнність теплопровідності.
ГЛАВА 5
