У курсі «Тепломасообмін» раніше розглядалось диференційне рівняння теплопровідності для твердих тіл, коли перенос теплоти у просторі відбувається шляхом молекулярної теплопровідності. У випадку рухомого середовища передача теплоти теплопровідностю відбувається як молекулярним так і конвективним шляхом. Розглянемо уважно цей процес.
Кількість теплоти, яка залишається в елементарному об,ємі, становить
, ( 2.13)
де
- функція температури,
- координати.
З іншого боку, за час ця теплота змінює ентальпію таким чином
( 2.14)
де - швидкість зміни температури,
- густина теплоносія,
На відміну від , коли середовище нерухоме , шукана температура є складною функцією , а, в свою чергу, координати x,y,z відносно нерухомої системи координат є функціями часу, тобто
(2.15)
де
xo,yo,zo – координати елементарного об,єма в момент .
Таким чином,
( 2.16)
З курсу математики відомо, що в такому випадку повна похідна дорівнює
, ( 2.17 )
де
- проекції вектора швидкості переміщення рідкого елемента на координатні осі ( рис.2.1).
Рисунок 2.2. Координатна схема
Отже, можна записати
( 2.18 )
Часткова похідна називається локальною(місцевою) похідною температури, а - її конвективною похідною. Повну похідну температури по часу звичайно позначають і називають індивідуальною
( або субстанціальною) похідною.
Остаточно диференційне рівняння теплопровідності для рухомого середовища запишеться
. ( 2.19)
