Теорема 1

Пусть , когда , такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория , исходящая при из точки , проходит в момент времени через некоторую прямую П. Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции , которая соответствует функциям и , что:

1. При любом функция достигает по максимума, то есть справедливо равенство:

(11)

2. В конечный момент времени имеют место соотношения:

(12)

Можно показать, то если вектор-функции удовлетворят уравнениям (9) и (10), то функции и являются постоянными, так что проверку условий (12) можно проводить в любой момент времени их интервала .

Если начальная точка и конечная точка не фиксирована в пространстве X, а принадлежит начальному многообразию размерности и конечного многообразию размерности , то к условиям теоремы необходимо добавить условие трансверсальности в начальных и конечных точках.

Сказано, что n-мерная вектор-функция удовлетворяет условию трансверсальности в начальной или конечной точке траектории, если вектор или ортогональны касательной плоскости, проведенной к многообразию в точке или к в точке . Это иллюстрирует следующий рисунок:

Таким образом, если концы траектории не фиксированы, то вектор-функции , помимо условий (1) и (2), должны также удовлетворять условиям трансверсальности. Условие трансверсальности позволяет определить соотношений между координатами и .

Добавим к ним соотношений.

Это все позволяет получить достаточную систему соотношений для решения задач оптимального управления.