Прямой, обратный и дополнительный коды

В компьютерах с целью упрощения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. При помощи этих кодов упрощается определение знака результата операции, операция вычита­ния (или алгебраического сложения) чисел сводится к арифметическому сложению их кодов, облегчается выработка признаков переполне­ния разрядной сетки. В результате упрощаются устройства компьютеров, выполняющие арифметические операции.

Для представления отрицательных чисел в компьютерах применяют пря­мой, обратный и дополнительный коды. Положительные числа пред­ставляются в прямом коде. Во всех этих кодах выделяются цифровые разряды и знаковый (крайний слева), представляющий знак числа, при­чем знак плюс кодируется цифрой 0, а знак минус цифрой 1.

Прямой код двоичного числа G с (n-1) цифровыми разрядами определяется как

G_пр =

где А — величина, равная весу знакового разряда. Для дробных чисел А = 1, а для целых А = 2^n-1.

Сложение в прямом коде чисел, имеющих одинаковые знаки, вы­полняется достаточно просто. Числа складываются, и сумме присваи­вается код знака слагаемых. Значительно более сложной является опе­рация алгебраического сложения в прямом коде чисел с различными знаками. В этом случае приходится определять большое по модулю число, производить вычитание чисел и присваивать разности знак большего по модулю числа.

Операция вычитания (алгебраического сложения) сводится к опе­рации простого арифметического сложения при помощи обратного и дополнительного кодов, используемых для представления отрица­тельных чисел в машине.

Чтобы представить двоичное отрицательное число в обратном ко­де, нужно поставить в знаковый разряд 1, а во всех других разрядах заменить 1 нулями, а нули единицами.

Обратный код, если рассматривать его как число, является допол­нением модуля исходного числа до наибольшего числа без знака, по­мещающегося в разрядную сетку. Для n-разрядной сетки имеем

Go6p=2-2 ^–(n-1) – lG^-l,

если G^- — двоичная дробь, и

G^-_обр = 2ⁿ – 1 - |G^-|

если G^- — целое двоичное число.

При представлении отрицательного двоичного числа в дополни­тельном коде ставят 1 в разряд знака, а цифровую часть числа заме­няют дополнением модуля числа до 1 или 2^n-1 соответственно для дробей и целых чисел. Дополнительный код отрицательного числа G определяется выражением

G^- _доп=2-|G^-|

если G^- — двоичная дробь, и

G^- _доп=2ⁿ-|G^-|

если G^- — целое двоичное число.

Обратный и дополнительный коды числа можно рассматривать как двоичные числа без знаков, при этом для двоичных дробей G^-_доп = G^-_обр + 2^-(n-1), а для двоичных целых чисел С^-_доп=С^-_обр+1.

Таким образом, дополнительный код числа может быть получен из обратного путем прибавления 1 к младшему разряду обратного кода.

При выполнении расчетов на машине могут возникнуть как «по­ложительный», так и «отрицательный» 0. Положительный 0 в прямом коде имеет вид

(+0)_пр= 000... 0.

Отрицательный 0 изображается в прямом коде

( - 0)_пр= 100. ..О,

в обратном

(-0)_обр= 111...1;

в дополнительном коде отрицательный 0 отсутствует.

При представлении положительных чисел прямым кодом, а отри­цательных дополнительным нуль имеет единственное изображение. При применении обратного кода «положительный» и «отрица­тельный» 0 имеют разные изображения.

Изменению знака отрицательного числа соответствует инвертиро­вание его кода, если число представлено в обратном коде, и инверти­рование и добавление 1 младшего разряда, если отрицательное число представлено в дополнительном коде. В результате получается прямой код соответствующего положительного числа. Сказанное следует из соотношений:

для дробей

-G^-_пр = |G^-| = 2 – 2^-(n-1) – G^-_обр

-G^-_пр = |G^-| = 2 – G^-_доп

для целых чисел

-G^-_пр = |G^-| = 2ⁿ – 1 – G^-_обр

-G^-_пр = |G^-| = 2ⁿ – G^-_доп

Рассмотрим применение обратного и дополнительного кодов при алгебраическом сложении n-разрядных двоичных чисел G и Q, когда одно из них или оба числа отрицательны. Могут быть сформулиро­ваны следующие правила (предполагаем, что модуль алгебраической суммы меньше 1 для дробей и меньше 2^n-1 для целых чисел, и, следо­вательно, код суммы представим в n-разрядной сетке).

При алгебраическом сложении двух двоичных чисел с использова­нием обратного (или дополнительного) кода положительные сла­гаемые представляются в прямом коде, а отрицательные - в обратном (дополнительном) и производится арифметическое суммирование этих кодов, включая разряды знаков, .которые при этом рассматриваются как старшие разряды. При возникновении переноса из разряда знака единица переноса прибавляется к младшему разряду суммы кодов при использовании обратного кода и отбрасывается при использова­нии дополнительного кода. В результате получается алгебраическая сумма в прямом коде, если эта сумма положительна, и в обратном (дополнительном), если она отрицательна.

Пример.

Пусть требуется выполнить две операции:

176- 154 и 176- 215

В первом случае результат будет положительный, а во втором – отрицательный. Переведем эти числа в двоичный код, например, через восьмеричную систему.

176 8 154 8 215 8

176 22 8 152 19 8 208 26 8

0 16 2 2 16 2 7 24 3

6 3 2

176₁₀=260₈ 154₁₀=232₈ 215₁₀=327₈

010110000₂ 010011010₂ 011010111₂

инвертируем вычитаемые в обратный и дополнительный коды

101100101 _обр 100101000₂

+ 1 + 1

101100110 _доп 100101001 _доп

теперь складываем уменьшаемое с дополнительными кодами обоих вычитаемых с учётом знаков

0 010110000 0 010110000

+ 1 101100110 + 1 100101001

10 000010110 1 111011001

в первой операции возникла единица переполнения, но знак результата плюс, поэтому переводим число в восьмеричную систему и далее в десятичную: 26₈=2·8¹+6·8⁰=22₁₀, что соответствует результату первой операции.

во второй операции знак результата отрицательный, поэтому его придется перевести в дополнительный код:

000100110 _обр

+ 1

000100111 _доп =47₈=39₁₀

или с учётом знака -39.

Признак переполнения разрядной сетки. При алгебраическом сло­жении двух чисел, помещающихся в разрядную сетку, может возник­нуть переполнение, т. е. образоваться сумма, требующая для своего представления на один цифровой разряд больше по сравнению с раз­рядной сеткой слагаемых. Можно сформулировать следующее правило (признак) для обнаружения переполнения разрядной сетки.

При алгебраическом сложении двух двоичных чисел с использова­нием прямого кода для представления положительных и дополнитель­ного (обратного) кода для представления отрицательных чисел призна­ком переполнения является наличие переноса в знаковый разряд суммы при отсутствии переноса из ее знакового разряда (положитель­ное переполнение) или наличие переноса из знакового разряда суммы при отсутствии переноса в ее знаковый разряд (отрицательное пере­полнение). Если и в знаковый, и из знакового разряда суммы есть переносы или нет этих переносов, то переполнение отсутствует. При положительном переполнении результат операции положительный, а при отрицательном отрицательный.