Уравнения движения машины в дифференциальной форме
Дифференциальные уравнения движения машины можно получить путем использования методов приведения сил и масс.
Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы материальных тел на бесконечно малом перемещении
,
где А – работа всех внешних сил, реально действующих в машине;
Т – кинетическая энергия всех звеньев машины.
На бесконечно малом перемещении работа сил бесконечно малая величина и изменение кинетической энергии также бесконечно мало. Разделим обе части уравнения на бесконечно малую величину dt:
, ,
где - мгновенная мощность всех сил, действующих на звенья механизма.
Метод приведения масс и сил позволяет нам выразить N и Т машины через приведенную массу и приведенную силу. Тогда теорема об изменении кинетической энергии запишется в следующем виде:
.
Рассмотрим случай поступательного движущегося звена приведения (материальной точки). В этом случае вся система может быть представлена материальной точкой, движущейся со скоростью Vпр и ускорением пр под действием силы Fпр и имеющей массу mпр (рисунок 1). Тогда мощность звена приведения:
,
а его кинетическая энергия
.
Тогда уравнение движения машины может быть записано в следующем виде:
.
В правой части уравнения мы имеем производную от произведения двух переменных величин и . Как правило , и . Возьмем производную от произведения двух переменных величин mпр и Vпр по времени t:
,
здесь - ускорение материальной точки.
Разделим и умножим первый член правой части полученного равенства на бесконечно малую величину dSпр – перемещение материальной точки приведения.
,
здесь - скорость материальной точки приведения.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение
.
Сократим левую и правую части уравнения на Vпр
|5|
Уравнение |5| - дифференциальное уравнение движения машины в общем виде. Это уравнение применяется в том случае, когда силы и массы приводятся к поступательно движущемуся звену или точке механизма.
Если mпр=const, т. е. приведенная масса точки приведения не зависит от времени или положения механизма, то и тогда уравнение |5| принимает вид дифференциального