Способ применяется, когда обе заданные поверхности можно одновременно пересечь совокупностью проецирующих плоскостей или совокупностью плоскостей уровня по графически простым линиям.
Дано : полусфера , конус
Найти : линию пересечения
Решение:
Низшая точка 1 и 2 находятся непосредственно, т.к. оба основания полусферы и конуса принадлежат одной и той же горизонтальной плоскости. 11,21 ↑12=22
Высшая точка 3. Обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, поэтому пересечение главных меридианов определяет высшую точку 3: 32 ↓ 31
Дополнительные точки 4,4′,5,5′,6,6′ определяются с помощью плоскостей Σ,∆,Q – плоскостей горизонтального уровня, которые пересекают полусферу и конус по окружностям радиусами R и r.
Проекция 11615141314′15′16′131 видима, т.к. находится над основаниями полусферы и конуса 1262524232 - видима, 324′25′26′222 - невидима, т.к. находится за линией главных меридианов.
Линией пересечения двух многогранников будет одна или две пространственные замкнутые ломаные линии. Вершинами этих линий являются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Сторонами линии пересечения являются отрезки прямых, по которым пересекаются грани обоих многогранников. Получается многоугольник.
Линию пересечения можно построить двумя способами.
Первый способ позволяет определить линию пересечения многогранников по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и наоборот. Это известная задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью.
Второй способ позволяет определить линию пересечения многогранников как линию пересечения граней многогранников. Это – задача на построение линии пересечения двух плоскостей.
Преимущество отдается тому из способов, который в зависимости от условий задания, имеет наипростейшее и наиболее точное решение.
Проекции линии пересечения двух многогранников располагаются внутри контура наложения одноименных проекций многогранников.
Если проекция какого-либо ребра одного из многогранников не пересекает общий контур проекций, то ребро не пересекает другой многогранник. Однако, если проекция ребра одного из многогранников пересекает даже и две проекции контура наложения, это еще не означает, что это ребро пересекает второй многогранник.
При определении сторон многоугольника, отрезки линии пересечения, строго соблюдается последовательность соединения его вершин. Отрезки прямых соединяют только те пары вершин, которые принадлежат одной и той же грани второго многогранника.
Дано : ABCA′B′C′, SMNL
Найти : ABCA′B′C′∩SMNL
Решение:
Так как, грани призмы занимают горизонтально-проецирующее положение, то горизонтальная проекция линии пересечения определяется непосредственно при пересечении горизонтальных проекций граней призмы с ребрами пирамиды. А фронтальные проекции – по принадлежности: A1C1 ∩ S1L1=11 12 A1C1 ∩ S1N1=21 22 A1C1 ∩ S1M1=31 32 B1C1 ∩ S1M1=41 42 B1C1 ∩ SN = 51 52 B1C1 ∩ SL1 = 61 62 Видимость линии пересечения: Грань призмы A2A′2C′2C1 – видима, грани пирамиды S2L2M2 и S2M2N2 видимы, следовательно, отрезки 1232 и 3222 – видимы, а т.к. грань пирамиды S2N2L2 – невидима, значит и отрезок 1222 – невидим. Аналогично 425262
Т.к. грани призмы ┴ П2, то фронтальная проекция линии пересечения многогранников на П2 – M2N2K2L2=M′2N′2K′2L′2
Для определения горизонтальной проекции линии пересечения используем метод граней. 1. Q=П1 - Q∩SABC=123 - Q∩MNKLM′K′L′=4-5-4′-5′ -1-2-3∩4-5-4′-5′=11-12-13-14-3 2. ∆ II П1 - ∆∩SABC=678 - ∆∩MNKLM′N′K′L=9-10-9′-10′ - 678∩9-10-9′-10′=15-16-17-18-8 3. Соединение точек и видимость по схеме Ананова.
Выполняем условную развертку призмы и пирамиды. Направление обхода ребер должно быть одинаковым, в данном случае – по часовой стрелке.
