Метод статистического (имитационного) моделирования (или метод Монте-Карло) - это способ исследования поведения вероятностных систем в условиях, когда не известен в полной мере внутренний механизм взаимодействия в этих системах. Метод заключается в воспроизведении исследуемого физического процесса при помощи вероятностной математической модели и вычислении характеристик этого процесса.
Одно такое воспроизведение функционирования системы называют реализацией или испытанием. После каждого испытания регистрируют характеристики системы. Метод основан на многократных испытаниях построенной модели с последующей статистической обработкой полученных результатов. Необходимо отметить, что имитационное моделирование достаточно специфично, набор и содержание конкретных процедур моделирования зависит от конкретных особенностей моделируемой системы, поэтому ниже рассматривается лишь общая схема имитационного моделирования.
Решение любой задачи методом статистического моделирования состоит в следующем:
· в разработке и построении структурной схемы процесса, выявлении основных взаимосвязей;
· в моделировании (с использованием данных, полученных на предыдущем этапе) функционирования системы - воспроизведение процесса в соответствии с разработанной структурной схемой и формальным описанием;
· в накоплении результатов моделирования, их статистической обработке, анализе и обобщении.
В отличие от других (рассмотренных ранее) математических моделей, дававших устойчивое во времени результаты, результаты, полученные при статистическом моделировании неустойчивы, и требуют (каждый раз!) соответствующих статистических проверок. Это обусловлено возможным появлением экспериментальных ошибок.
Чаще всего процесс моделирования сводится к имитации изучаемого процесса на ЭВМ. В частности, моделирование случайных событий и случайных функций при функционировании системы производится с помощью машинных генераторов случайных величин.
Для моделирования случайной величины (числа) необходимо знать ее закон распределения. Наиболее общим способом получения последовательности случайных чисел, распределенных по произвольному закону, является способ, в основе которого лежит их формирование из исходной последовательности случайных чисел, распределенных в интервале [0, 1] по равномерному закону.
Равномерно распределенные в интервале [0, 1] последовательности случайных чисел можно получить тремя способами:
· с помощью таблиц случайных чисел (способ используется при имитационном моделировании «вручную»);
· использовать генераторы случайных чисел;
· использовать метод псевдослучайных чисел.
В основе работы генераторов случайных чисел находится процесс преобразования случайного физического процесса (например, изменения напряжения электросети, питающей ЭВМ) в набор случайных чисел. Недостатки данного подхода: трудно проверить качество (случайность) вырабатываемых чисел; сгенерированный набор чисел уникален и более не воспроизводим (что исключает возможность повторной проверки испытания).
Получение псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения сводится к расчету последовательности чисел по специальным формулам, имитирующим случайные процессы. Однако надо помнить, что получаемые числа не в полной мере являются случайными. К достоинствам данного подхода относятся:
· высокая скорость получения больших наборов чисел при приемлемом их "качестве";
· легкость воспроизведения испытаний;
· простота процедур получения наборов чисел.
Исходя из перечисленных достоинств, данный подход нашел наибольшее распространение в имитационном моделировании.
Если процедура получения равномерно распределенных чисел ζ в интервале [0, 1] определена, то для получения чисел с другими распределениями имеются формулы пересчета. Для наиболее распространенных законов распределения формулы пересчета представлены в таблице 6.1.
Таблица 6.1
Закон распределения
Формула пересчета
Экспоненциальный
xi= -(1 /λ)∙ln ζ i
Вейбулла
xi= -b∙(ln ζ i)(1 / a)
Гамма-распределение (η - целые числа)
η
xi = -(1 /λ)∙∑ln(1 -ζ j)
j = 1
Нормальное (η - целые числа)
η
xi=Xср+σ∙(∑ ζ i- 6)
i = 1
Примечания к таблице 6.1:
· xi -случайное число, "имеющее" необходимое теоретическое распределение;
· ζ i -равномерно распределенное в интервале [0, 1] случайное число, ранее полученное каким либо способом;
· λ,a,b,Xср,σ -параметры соответствующих теоретических законов распределения;
· η (для случаев гамма и нормального распределений)-задаваемые пользователем целые числа.
