Различают две группы теоретических законов распределения: дискретные законы распределения; непрерывные законы распределения. К дискретным распределениям относят биномиальное распределение.
Биномиальное распределение- это распределение числа X появления события A в серии из n независимых испытаний. Вероятность наступления события A в каждом испытании равна p, а вероятность его отсутствия q= 1 -p. В каждом испытании возможны только два исхода: наступление или не наступление события A. Для описанных условий ряд распределения числа появления события A определяется формулой Бернулли:
P(X=m) =Cnm∙pm∙(1 -q)n-m,(m= 0, 1, …, n),
где: P(X =m)-вероятность появления события A ровно m раз в серии из n опытов;
Cnm -число возможных сочетаний m по n. Определяется по формуле
Cnm=n! / [m!∙(n-m)!].
Факториал числа для больших n может быть определен по формуле Стирлинга n! ≈e-n∙nn∙(2ЧЧn)0,5.
Из формулы Бернулли следует, что биномиальное распределение полностью определяется двумя параметрами: p и n. Примеры протекания графика данного распределения представлены на рисунке 2.3.
К непрерывным распределениям относят: нормальное распределение; гамма-распределение и распределение Эрланга; экспоненциальное распределение и множество других законов распределения.
Нормальное распределение. Плотность нормального распределения определяется по формуле:
-[(x-mx)2/ (2∙Dx)]
f(x) = [1 /уx∙(2Ч)0,5]∙e.
Если непрерывная случайная величина X принимает значения от -∞ до +∞, то соответствующая ей функция распределения равна:
x-[(x-mx)2/ (2∙Dx)]
F(x) = {1 / [уx∙(2Ч)0,5]}∙∫ e∙dx.
-∞
Из представленных формул следует, что нормальное распределение полностью характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием mx (параметром места) и дисперсией Dx (параметром формы). Типичные графики плотности распределения f(x) и функции F(x) нормального распределения представлены на рисунке 2.4.
Закон распределения при значениях mx= 0 и уx = 1называют стандартным (нормированным) нормальным законом распределения. Путем подстановки Z1= (б- mx) / уx и Z2= (в- mx) / уx нормальное распределение с произвольными параметрами mx и уx приводится к стандартному виду, после чего может быть легко рассчитана, например, вероятность попадания случайной величины в заданный интервал от б до в:
P(б<X<в) =Ф(в) -Ф(б),
где Ф(…) - табулированная функция Лапласа. Ее значения представлены в стандартных таблицах квантилей нормального распределения.
Гамма-распределение и распределение Эрланга.Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения вычисляется по формуле:
f(x) = (лk·xk-1·e-лx) / Г(k) при x> 0,
где л> 0иk> 0-параметры гамма-распределения;
Г(k) - гамма-функция. Ее значения представлены (табулированы) в стандартных таблицах квантилей гамма-распределения.
При целом k> 1гамма-распределение превращается в распределение Эрланга k-го порядка, имеющего плотность распределения вида:
При k= 1 гамма-распределение превращается в экспоненциальное распределение.
Экспоненциальное распределение. Непрерывная случайная величина X имеет экспоненциальное (показательное) распределение, если ее плотность распределения выражается формулой:
f(x) =л∙e-л∙x,x > 0.
Положительная величина лявляется единственным параметром экспоненциального распределения. Функция распределения случайной величины X выглядит следующим образом:
F(x) = 1 -e-л∙x,л > 0, 0 ≤x<∞.
Графики функции и плотности экспоненциального распределения представлены на рисунке 2.5.
Математическое ожидание случайной величины X, имеющей экспоненциальное распределение, обратно его параметру, то естьmx= 1 / л.
В заключение краткого обзора распределений, используемых при моделировании большой группы процессов, необходимо упомянуть еще ряд распределений, используемых менее часто: логнормальное, Вейбулла, Стьюдента, Фишера, Пирсона и др.
