Числовые характеристики случайных величин

При решении практических задач моделирования, основанных на распределениях случайных величин, используют числовые характеристики. К ним относят: математическое ожидание, медиану, моду, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, предельную относительную ошибку и т.д.

Математическое ожиданиеM[X] - это такая величина, относительно которой группируются (рассеиваются) всевозможные значения случайной величины. Математическое ожидание является теоретической характеристикой. Для практического применения используется упрощенная величина - среднее значение Х_ср. Среднее значение приближается к значению математического ожидания по мере увеличения числа испытаний (наблюдений). Обычно среднее определяют по формуле:

_N

M[X] ≈ Х_ср = (∑ x_i) /N,

^{i = 1}

где x_i- значение случайной величины при i-ом наблюдении;

N - общее число наблюдений.

Медиана M_e- это такая величина, относительно которой равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины, то есть:

P(X>M_e) =P(X<M_e).

Медиану применяют в качестве характеристики распределения в тех случаях, когда имеются очень большие колебания случайной величины. В этом случае на среднее значение большое влияние будут оказывать крайние значения случайной величины, а медиана к крайним значениям менее чувствительна.

Мода M_o - это такое значение, которое имеет наибольшую вероятность. В общем случае среднее, медиана и мода не совпадают (совпадают они лишь при симметричном распределении).

Математическое ожидание, среднее, медиана и мода имеют такую же размерность, как и рассматриваемая случайная величина X.

Для оценки степени разброса (рассеивания) значений случайной величины относительно среднего используют такие характеристики, как дисперсия D_x и среднее квадратическое отклонение у_x.

Дисперсия D_x - это математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от своего математического ожидания. Чем больше дисперсия, тем в среднем больше отклонение (рассеивание) значений случайной величины относительно среднего. Для дискретной случайной величины дисперсию вычисляют по формуле:

_N

D_x= [∑(x_i-Х_ср)²] /N,

^{i = 1}

а для непрерывной случайной величины - по формуле:

_∞

D_x=∫(x-Х_ср)²∙f(x)∙dx,

^-∞

где x_i- значение случайной величины при i-ом наблюдении;

Х_ср- среднее случайной величины;

N - общее число наблюдений.

Дисперсия имеет размерность рассматриваемой случайной величины X, но в квадрате.

Среднее квадратическое отклонение(СКО) у_x - это положительное значение корня квадратного из дисперсии. Имеет одинаковую размерность со случайной величиной, в чем и состоит ее преимущество (более широкое применение) относительно дисперсии. Для малых выборок (N ≤ 30) определяются несмещенные оценки D_x и у_x, формулы для их расчета имеют вид:

_N

D_x= [∑ (x_i-Х_ср)²] / (N -1),

^{i = 1}

у_x=D_x^0.5.

Дисперсия и СКО показывают абсолютное отклонение от среднего значения случайной величины, что недостаточно характеризует уровень рассеивания. Для устранения этого недостатка часто используют относительные характеристики рассеивания: коэффициент вариации  и предельную относительную ошибку д.

Коэффициент вариации - это отношение СКО к среднему значению. Рассчитывается по формуле:

 = [у_x /Х_ср]∙100 %

(в процентах), или по формуле:

 = у_x /Х_ср

(в безразмерном виде). Коэффициент вариации удобен для сравнения случайных величин, имеющих различную размерность.

Предельная относительная ошибка д - характеризует величину наибольшего отклонения случайной величины от среднего значения, определяется по правилу:

д=max{[(Х_ср- x_min) /Х_ср];[(x_max - Х_ср) /Х_ср]},

где: Х_ср -среднее;

x_min - наименьшее из всех наблюдений случайной величины X;

x_max - наибольшее из всех наблюдений случайной величины X.

Правило определения д заключается в следующем: "определяется наибольшее относительное отклонение от среднего в большую сторону; определяется наибольшее относительное отклонение в меньшую сторону; искомому д присваивается наибольшее значение из этой пары".