Интервальная оценка при нормальном и логнормальном распределениях
Интервальные оценки параметров и показателей
В ряде задач требуется найти для какого либо показателя (параметра) m не только его оценку M', но и его точность, то есть, требуется определить, к каким ошибкам может привести замена показателя (параметра) m его точечным (дискретным, оценочным) "средним" значением M'. С этой целью в математической статистике используются доверительные интервалы.
Доверительным интервалом показателя M называется случайный интервал Mн...Mв, который накрывает истинное значение M с задаваемой вероятностью P (обычно P = 0.9...0.95). Величины Mн и Мв принято называть доверительными границами, а вероятность Р - доверительной вероятностью.
Для большинства законов распределения имеются специальные статистические таблицы (таблицы коэффициентов доверительных границ), позволяющие по заданным доверительной вероятностиР и обьему располагаемой информации (число испытаний, событий m) определить нижнюю и верхнюю доверительные границыМни Мв.
Пусть при n опытах получен ряд значенийx1, x2,...,xi,...,xn, тогда оценка среднего значения показателя Х' может быть определена по формуле
n
Х' = (1 /n) · У xi.
i=1
Тогда нижняя доверительная граница Хн определяется по формуле
Xн = X' -z · (у / n0.5),
а верхняя доверительная границаХв - по формуле
Xв= X' + z · (у / n0.5),
где у - среднеквадратическое отклонение показателяХ', определяемое по формуле
n
у = {[1 / (n - 1)] · У (xi - X')2}0.5,
i=1
z - коэффициент доверительных границ, определяемый по таблице 1 для доверительной вероятности Р. Обычно задаются значением Р = 0.9...0.95; xi - значение показателя при i-ом опыте (замере).
Окончательная запись интервальной оценки показателя Х имеет вид:
Х = Хн...Хв.
Доверительные границы при логнормальном распределении определяются аналогично, с той лишь разницей, что исходный вариационный ряд (ряд наблюдений) должен содержать значения натуральных логарифмов [то есть, ln(xi)], а в формулах вместо значений x должны стоять значения ln(x).
Пусть при n опытах получен ряд значений x1, x2,...,xi,...,xn, тогда оценка среднего значения показателя Х' может быть определена по формуле
n
Х' = (1 /n) · У xi.
i=1
В качестве показателя Х' в практических задачах могут выступать: число отказов M', наработка на отказ или наработка до отказаТ', интенсивность отказов щ или параметр потока отказовл. Доверительные границы показателей определяются следующим образом:
· для числа отказов нижняя доверительная граница
Mн = M' /r1,
а верхняя доверительная граница
Mв = M' / r2;
· для наработки на отказ нижняя доверительная граница
Тн = Т' ·r2,
а верхняя доверительная граница
Тв = Т' ·r1;
· для интенсивности отказов (параметра потока отказов) нижняя доверительная граница
·
лн = л'/ r1,
а верхняя доверительная граница
лв = л'/r2.
Коэффициенты доверительных границ r1, r2 определяются из таблиц 2, 3, 4. (при заданном числе опытов n и заданной доверительной вероятности P. Обычно задаются значением Р = (0.9...0.95). Окончательная запись интервальной оценки показателя Х имеет вид: