Проверка стационарности

Проверка стационарности позволяет своевременно выявить факт появления тенденции (градиента) изменения данных. В ряде случаев это требует изменения режима наблюдения за объектами (например, повышения частоты контроля объектов). Наиболее часто для оценки стационарности результатов наблюдений используют следующие алгоритмы:

· алгоритм с использованием критерия серий;

· алгоритм с использованием модифицированного критерия серий;

· алгоритм на основе критерия восходящих и нисходящих серий;

· алгоритм на базе рангового критерия Кендала;

· алгоритм на основе критерия Аббе.

Наилучшие результаты получаются при последовательном использовании этих алгоритмов. Тогда решение о наличии (или об отсутствии) стационарности в ряде данных принимается, если об этом свидетельствуют результаты работы не менее чем трех из четырех перечисленных алгоритмов.

Алгоритм на основе критерия серий предусматривает построение на основании свойств исходного бинарного ряда Y наблюдений, принимающего значения только -1 или 1 по правилу:

Y_i = 1, если X_i ≥ X_m,

Y_i = -1, если X_i < X_m,

где: X_m - медиана исследуемого ряда.

Установлено, что если общее число серий серий (последовательностей только из подряд идущих 1 или -1)  удовлетворяет условию

_{n, 1 - б/2} ≤  ≤ _{n, б/2},

(где _{n, 1 - б/2}, _{n, б/2} - табулированные значения квантилей распределения при заданном критическом уровне значимости б и известном объеме наблюдений n), то гипотеза о стационарности и независимости случайного процесса принимается. В противном случае принимается гипотеза о наличии тренда процесса.

Процедура на основе модифицированного критерия серий предполагает, помимо вычисления числа серий  еще и фиксирование самой длинной серии . Тогда гипотеза о стационарности процесса принимается, если одновременно выполняются условия:

 > {0.5·[n + 1 - 1.96·(n - 1)^0.5]},)

 < [3.3·log(n + 1)].

В противном случае делается вывод о наличии зависимости между наблюдениями ряда и существовании тренда ряда.

Алгоритм на основе критерия восходящих и нисходящих серий.Данный алгоритм также исследует последовательности 1 и -1, но образованные по правилу:

ж 1, если x_{i + 1}-x_i і 0,

Y_i = н

и -1, еслиx_{i + 1}-x_i < 0.

Статистики  и  вычисляются аналогично случаю "критерия серий", но должны удовлетворять следующим условиям:

> {0.33Ч(2Чn- 1) - 1.96Ч[(18Чn- 29) / 90]^0,5},

 >_o (n),

ж 5, если nЈ 26,

где _o (n) = н 6, если26 <n< 153,

и 7, если n і 153.

Алгоритм на базе рангового критерия Кендала.Алгоритм основан на вычислении числа случаев p, в которых x_j >x_i при j>i. Установлено, что p связано простым соотношением с коэффициентом ранговой корреляции Кендала с:

с= {4Чp/ [nЧ(n- 1)]} - 1,

z-статистика которого, приблизительно нормально распределена

z= {3ЧЧ[nЧ(n- 1)]^0,5} / [2Ч(2Чn+ 5)]^0,5.

Очевидно, что при заданном уровне значимости б выполнение неравенства z<U_бсвидетельствует об отсутствии тренда реализаций процесса (U_б - это квантиль нормального распределения).

Алгоритм на основе критерия Аббе.Критерий Аббе является критерием квадратов последовательных разностей и подсчитывает величину:

г⁽ⁿ⁾ =q²Ч(n) / s²(n),

_{n - 1}

где: q²(n) = 0.5Ч∑ (x_i + x_i+1)² / s²(n);

^{i = 1}

s²(n) - СКО.

Критическое значение г_кр⁽ⁿ⁾ при заданной значимости б и nЈ 59 табулировано, а при n> 60 определяется по формуле:

г_кр⁽ⁿ⁾ = 1 +U_б /[n+ 0,5Ч(1 +U_б²]^0,5,

где U_б - квантиль нормального распределения.

Еслиг ⁽ⁿ⁾ Јг_кр⁽ⁿ⁾, то гипотеза о независимости результатов наблюдений отвергается (то есть данные не стационарны).

Очевидно, что установление факта появления нестационарности в данных требует дополнительного анализа и, как следствие, - необходимости прогнозирования. Стационарные данные в дополнительном анализе и в прогнозировании "не нуждаются".