Процесс оптимизации решений может осуществляться в следующих условиях:
1. Определенности, когда имеется достоверная информация о состоянии внешней среды.
2. Риска, когда возможно задеть вероятностное распределение для состояний внешней среды.
3. Неопределенности, когда о состояниях внешней среды есть лишь общие представления.
4. Противодействие, когда внешнюю среду представляет сознательный противник.
Самые интересные 2 и 3 класса — самые правдоподобные. Операции, проводимые в условиях риска и неопределенности, принято называть играми с природой. Для этих операций характерно наличие неполноты информации в отношении внешней среды (числа пользователей системы, спроса на продукцию, климатических условий и др.). Типичная игра с природой состоит в выборе opt. Стратегии opt, если имеется m конкурирующих стратегий Xj и n состояний природы Si, причем известна матрица выигрышей aji.
Xi/Si
S1
S2
...
Sn
X1
a11
a12
...
a1n
X2
a21
a22
...
a2n
...
...
...
...
...
Xm
am1
am2
...
amn
В некоторых случаях вместо матрицы выигрышей оперирует матрицей рисков, которая содержит множество рисков.
Zji = maxji(aj) - aji
Смысл: риск — это потеря выигрышей. Покажем на примере, как перейти от матрицы выигрышей к матрице риска.
aji
S1
S2
S3
S4
X1
X2
X3
→
Zji
S1
S2
S3
S4
X1
X2
X3
Для оптимизации решений в условии риска применяются критерии Критерий max среднего выигрыша:
K1 = max(aj) = max(∑aji⋅Pi)
Критерий минимума:
K1 = min(zj) = min(∑zji⋅Pi)
Найдем оптимальные стратегии, пологая:
P1 = 0,1; P2 = 0,2; P3 = 0,5; P4 = 0,2
— это вероятности воздействия внешней среды. Применяя критерии K1 и K2, получаем:
применяем K1:
K1 = max({5,2; 4,5; 5}) = 5,2 → xopt = x1
т.е. 0,1⋅1 + 0,2⋅4 + 0,5⋅5 + 0,2⋅9
K2: K2 = min({1,6; 2,3; 2,8}) = 1,6 → xopt = x1.
Стратегия, максимизирующая средней выигрыш, совпадает со стратегией, минимизирующей средний риск. Т.е. на практике можно использовать любую из матриц: либо матрицу выигрышей, либо матрицу рисков. Для оптимизации решений в условиях неопределенности служат следующие критерии:
1. Критерий Лапласса:
КЛ = max((1/n)⋅∑aji)
2. Максиминный критерий Вальда:
КВ = max(Xj)⋅minSi(aji),
который ориентируется на худшее состояние внешней среды и выбирает стратегию с максимальным выигрышем (критерий крайнего пессимизма)
3. Мини-максный критерий Сэвиджа:
КС = min(Xj)⋅max(Si⋅Zji),
который ориентируется на самую неблагоприятную обстановку и выбирает стратегию с минимальным риском (критерий крайнего писсимизма).
4. Критерий Гурвица:
КГ = max(Xj)⋅[α⋅min(Si⋅aji) + (1 -α)⋅max(Si⋅aji)]
критерий Гурвица имеет характерные частные случаи:
o критерий крайнего оптимизма
КГ(2-0) = max(Xj)⋅max(aSi⋅aji)
o критерий крайнего пессимизма
КГ(2-0) = max(Xj)⋅max(aSi⋅aji) = КВ,
который основан на выделении 3-х зон в матрице выигрышей, а именно: плохих, промежуточных и благоприятных результатов, получаемых с вероятностями P1, P2, P3.