Дискретное представление сигналов

Вторым важным аспектом теории сигналов является проблема дискретного представления непрерывных сигналов. Вопрос формулируется так: существуют ли условия (и если да, то каковы они), при которых любой непрерывной функции x(t) можно поставить во взаимно однозначное соответствие дискретное множество чисел

{C_k(x)}, k =...-2,-1,0,1,2,...

Положительный ответ на этот вопрос имел бы как теоретическое, так и практическое значение. Во-первых, рассмотрение случайных величин вместо реализаций непрерывных случайных процессов существенно упрощает решение многих задач, теория становится проще и может быть продвинута дальше.

Во-вторых, соответствие значения x(t) значению {C_k(x)}можно использовать в технических устройствах, работающих с непрерывными сигналами.

Ограничимся более конкретной формулировкой поставленной задачи и рассмотрим условия выполнения равенства

x(t) = ∑_kC_k(x)⋅φ_k(t).

Функции φ_k(t) называются координатными функциями, они не должны зависеть от x(t), более того, они заранее известны. Ряд в правой части равенства называется разложение x(t) по координатным функциям. Числовые коэффициенты {C_k(x)} содержат всю информацию об x(t), необходимую для восстановления этой функции по формуле (5.7), следовательно, {C_k(x)} являются функционалами от функции x(t) (функционалом называется отображение множества функций в множество чисел).

Наиболее известны разложения по системе ортогональных и нормированных функций. Это означает, что функции φ_k(t) удовлетворяют условиям

∫φ_i(t)⋅φ_kdt = 1 при i = k
∫φ_i(t)⋅φ_kdt = 0 при i ≠ k

Умножим обе части равенства (5.7) на i(t) и проинтегрируем

∫φ_i(t)⋅x(t)dt = ∑_kC_k(x)⋅∫φ_i(t)⋅φ_k(t)dt

Такое представление называют рядом Фурье, а {C_k(x)} — коэффициентами Фурье. Условия сходимости ряда Фурье к функции x(t) подробно исследованы и, кратко говоря, сводятся к тому, чтобы были оправданы все необходимые математические операции, а коэффициенты Фурье убывали достаточно быстро.

Значительный интерес привлекли разложения реализаций случайного процесса с ограниченной полосой частот. Для таких сигналов Котельников доказал (1946г.) следующую теорему (теорему отсчетов): любая функция со спектром, находящимся в интервале [0,F], полностью определяется последовательностью ее значений в точках, отстоящих друг от друга на 1/(2⋅F) единиц времени.

x(t) = ∑x(k/2⋅F)⋅{[sin(2⋅π⋅F⋅t - k⋅π)]/(2⋅π⋅F - k⋅π)}

Т.е. мы имеем разложение реализации координатными функциями вида [sinu] /u, сдвинутые относительно друг друга на интервалы времени 1/(2⋅F), с коэффициентами, равными отсчетам самой реализации, взятые в моменты t = k/(2⋅F).