Пусть система состоит из симметрий вращения правильного треугольника. Тогда некоторые возможные конечные пространства состояний могут иметь вид:
Рис.4.2 — Конечные пространства
Для описания системы достаточно любого из этих пространств состояний, однако только некоторые из них удобнее использовать для вычислений результата воздействия на состояние системы. Следовательно, пространство состояний вовсе не обязательно должно быть непосредственно привязано к реальному физическому процессу. Это чисто математическая условность, введенная для упрощения проблемы определения реакции системы на заданные внешние воздействия.
Пусть имеются два возможных отображения σ1 и σ2, переводящие одно состояние системы в другое и соответствующие повороту треугольника вокруг центра тяжести на 120 и 240 градусов соответственно. Результаты применения этих отображений к различным пространствам состояний можно представить в виде таблицы:
zi
σ1(zi)
σ2(zi)
z1 →
[a, b, c] [c, a, b] [b, c, a]
[c, a, b] [b, c, a] [a, b, c]
[b, c, a] [a, b, c] [c, a, b]
z2 →
0 2π/3 4π/3
2π/3 4π/3 0
4π/3 0 2π/3
z3 →
0 1 2
1 2 0
2 0 1
Пространство z1 на первый взгляд излишне сложное, оказывается вполне пригодным для более сложных систем, например в случае симметрий более общего вида, где могут присутствовать отображения типа σ. В то же время пространства z2 и z3 не допускают очевидных обобщений на более сложные случаи с сохранением простоты вычислений.
Способ выбора конкретного пространства состояний системы называется ее координатизацией. При этом важно установить, всегда ли существует координатизация, которую можно считать «хорошей» с точки зрения описания поведения системы. Ключевым моментом проблемы координатизации является алгебраическая структура модели системы в пространстве состояний.
Лекция 5: Математическое описание систем (2 часть)
Энтропия и потенциальная функция При изучении систем с информационно-теоретической точки зрения часто ее описание дается на языке энтропии и потенциальных функций. По аналогии с классической механикой и теорией поля можно рассматривать реакцию системы на внешнее воздействие как динамическое изменение состояния системы, в процессе которого она стремится минимизировать некоторую потенциальную функцию. В зависимости от конкретного вида системы и принятых допущений такая динамика может быть локальной в смысле движения системы к относительному минимуму, ближайшему к текущему состоянию, или глобальной в смысле движения к абсолютному (глобальному) минимуму соответствующей потенциальной функции.
Приближенное описание динамического процесса на языке потенциальных функций включает следующие составляющие:
· пространство состояний (фазовое пространство) Z;
· набор входных функций X;
· гладкое отображение f: Z*X → R;
где R — есть пространство действительных чисел.
При этом предполагается, что система ведет себя так, что при фиксированном входе x ее н аблюдаемое состояние соответствует локальному либо глобальному минимуму потенциальной функции.
Рис.5.1 — Потенциальная функция системы
А) — движение к локальному минимуму; В) — движение к глобальному минимуму; f(z,a) — потенциальная функция; z(a) — начальное положение системы, где а — внешний параметр.
Замена параметра а на а* приводит к изменению положения минимума функции f(z,a).
Использование потенциальной функции для описания хорошо изученных физических систем оказалось весьма удачной альтернативой внутренних описаний. Успешное применение такого подхода в классической физике обусловлено существованием незыблемых вариационных принципов, таких как принципы Гамильтона, Ферма и Даламбера. В большинстве случаев внутреннее описание физического процесса на языке потенциальных функций естественным образом вытекает из описания с пoмощью потенциальных функций в силу уравнений Гамильтона-Якоби и Эйлера-Лагранжа.
В системах, которые являются предметом изучения общественных наук, возможность использования такого описания не столь обоснована из-за сложности применения вариационных принципов. Однако в ряде случаев при анализе устойчивости или в теории катастроф знание точного вида потенциальной функции не является необходимым для определения важных качественных свойств системы — важен лишь сам факт ее существования.
С описанием системы на языке потенциальных функций тесно связана идея описания поведения систем с помощью энтропии. Как известно из классической термодинамики, энтропия является мерой беспорядка, существующего в данной физической системе. Мерой упорядоченности системы является отрицательная энтропия или негэнтропия. В основе описания динамического процесса с помощью энтропии лежит предположение преобразовании негэнтропии входа в информацию. Это означает, что все замкнутые системы изменяются таким образом, что минимизируют изменение энтропии. Таким образом, становится очевидной связь между описанием на языке потенциальных функций и энтропии.
Чтобы показать общность описаний в терминах энтропии, перечислим основные аксиомы релятивистской теории информации, развитой Джюмэри для динамических процессов.
Аксиома 1. Система является частью некоторой вселенной и развивается только постольку, поскольку она преследует некоторую цель.
Аксиома 2. Для достижения цели система воспринимает информацию I из окружающей среды и использует эту информацию для перестройки собственной организации (внутренней структуры) A, в результате которой увеличилась бы негэнтропия n, и для оказания воздействия L на окружающую среду.
Аксиома 3. (Принцип эволюции). Структурная энтропия Е системы определяется соотношением dE = dI/n и является неубывающей функцией эволюции.
Аксиома 4. Вселенная не может наблюдать собственную эволюцию. В силу этих аксиом уравнение состояния системы имеет вид:
f(He, Hi, ν) = 0, где
· He — внешняя энтропия системы по отношению к фиксированному наблюдателю R,
· Hi — внутренняя энтропия системы по отношению к наблюдателю R,
· ν — цель системы с точки зрения наблюдателя R.
При таком подходе к описанию системы наблюдатель (или лицо, принимающее решение) играет особую роль, причем особый упор делается на кинематический подход, основанный на аналогах преобразования Лоренца для двух наблюдателей R и R*.
Анализируя уравнение состояния, можно заметить, что знание функции f позволяет вычислить структурную энтропию Е c помощью соотношения, описывающего обмен информацией:
dI = α⋅dHe + β⋅dHi
Рассмотрим простую динамическую систему x(t) = u(t),
где x(t) и u(t) — скалярные функции. Поскольку внешняя энтропия He обладает теми же свойствами, что и время t, произведем замену: t He. Более того, имеет смысл отождествить внутреннее состояние x с внутренней энтропией Hi. Тогда динамика системы эквивалентным образом описывается уравнением
dHi - u(He)⋅dHe = 0
Попытаемся теперь построить функцию состояния f в соответствии с приведенным выше ее определением. Из равнения состояния следует, что
df/dHe⋅dHe + df/dHi⋅dHi + df/dν⋅dν = 0
Не имея дополнительной информации о системе, можно предположить, что ее цель не меняется.Интегрируя уравнение динамики, получаем
f(Hi, He, ν) = H - ∫u(s)ds = 0
где He0 — внешняя энтропия в начальный момент времени t0.
Проведенный анализ показывает, что система x = u не определена с точки зрения обмена информацией с окружающей средой. Более того, такой обмен вообще не имеет места.
