Интерполяционные квадратурные формулы

Интерполяционные квадратурные формулы

Глава3. Численное интегрирование

Погрешность

При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа.

Пусть значения функции известны с малой точностью ε. Ответим на вопрос: останется ли в решении исходной задачи хотьо один достоверный знак. Рассмотрим приближенное равенство: . При этом для достаточно гладких функций (погрешность первого порядка).

ρ определяет погрешность метода и неограниченно убывает при h→0. Но есть и неустранимая погрешность, связанная с погрешностью при вычислении функции f(x): . Она неограниченно возрастает при h→0.

Таким образом, полная погрешность не превосходит . А значит, оптимальным будет шаг метода, соответствующий минимуму g(h).

Меньший шаг невыгоден, а меньшая погрешность недостихима. Эта минимальная ошибка тем меньше, чем меньше погрешность входных данных.

Постановка задачи

Задача состоит в приближенном вычислении интеграла , например, по дискретным значениям функции f(x) в узлах x₁..x_n , по замене функции ее аппроксимацией и т.д.

Так - интегральная сумма. Общий вид аппроксимирующих сумм: , где A_k – некоторые коэффициенты.

Пусть требуется найти определенный интеграл ,

где f(x) – дискретная функция, заданная в узлах x₁…x_n;

q(x)>0 – весовая функция.

Тогда приближенная формула вычисления имеет вид:

(1)

Правая часть формулы (1) – квадратура.

Может быть применен следующий подход: функция f(x) аппроксимируется интерполяционным полиномом P_n-1(x) по узлам x₁…x_n.

Получим для этого случая формулу (1) и квадратуру искомого интеграла.

Предполагается, что . Получим: .

При этом

- интерполяционный полином в Лагранжа,

- погрешность интерполяции.

Подставим в (1) вместо функции f(x) полином P_n-1(x), получим:

- интерполяционная квадратура, где . (2)

Погрешность в этом случае представима в виде: .

По построению интерполяционная квадратурная формула точна,

если f(x)=P_n-1(x).

Теорема 1Квадратурная формула (1) точна для любого многочлена P_k(x),

k ≤ n-1 тогда и только тогда, когда она – интерполяционная.

Доказательство

Пусть формула (1) точна для любого многочлена P_k(x), k ≤ n-1, т.е.

.

Докажем, что тогда A_k находятся по формуле (2).

Рассмотрим функции - многочлены (n-1) степени:

.

Тогда выполняется равенство: , т.е. A_i вычисляются по формуле (2).

Пусть формула (1) интерполяционная, т.е. A_k вычисляются по (2). Докажем, что тогда (1) точна для любого многочлена P_k(x), k ≤ n-1.

Рассмотрим произвольный многочлен P_k(x), k=n-1.

Его представление в форме Лагранжа имеет вид:

.

Его интеграл:

.

С другой стороны, его квадратура

, где A_k вычисляются по формуле (2), т.е I=J.

Что и требовалось доказать.

Оценим погрешность квадратурной формулы интерполяционного типа:

, где .