Полиномиальная интерполяция с кратными узлами

Метод наименьших квадратов

Рассмотрим некоторую функцию . В полиномиальной аппроксимации она приближается по значениям в узлах х₀...х_n линейной комбинацией степеней х_k (полиномом k-ой степени).

Таким образом, функцию f(х) на [a,b], заданную в узлах х₀...х_n можно аппроксимировать некоторыми функциями φ_k(k), общее число которых (р+1), р≠n.

Рассмотрим некоторые употребляемые частные случаи:

1) Полиномиальная задача:найти для функции f(х) такую линейную комбинацию функций φ_k: что их разность в некотором определенном смысле минимальна (в случае полиномиальной аппроксимации разность рассматривается в узлах).

Рассмотрим следующее выражение:

Необходимое условие минимума функции

Таким образом, получим следующую систему уравнений:

Или:

2) Континуальная задача:аппроксимировать функцию f(х) в С [a, b] в смысле средне квадратичного.

Обозначим

Необходимое условие экстремума имеет вид:

Получим систему:

Или:

т.к. - скалярное произведение φ_m на φ_k в L₂ (а, b), то:

Определитель с матрицей А=(а_km), где а_km= (φ_k, φ_m) – определитель Грамма.

Заметим, что det А≠0, если система линейно независима, следовательно, наилучшее средне квадратичное приближение существует и притом единственно.

Рассмотрим подпространство (натянутое на функции φ₀...φ_р в пространстве L₂ (а, b)).

- проекция f(х) на В_р+1. Приэтом она существует единственно, если φ_k линейно независима.

Пусть дана дискретная функция f(х) в узлах х₀, х₁...х_m (х_k<х_k+1, ). А также заданы значения в узлах для производных функции f(х):

; S=0, 1...S_k-1. Причем

Требуется построить многочлен Q_n(х) n-ой степени, совпадающий в узлах со всеми этими значениями, т.е. получим систему:

Интерполяционный многочлен Q_n(х) определяется единственным образом. Действительно, предположим, что существует многочлен n-ой степени:

удовлетворяет условиям вышеописанной системы. Тогда их разность удовлетворяет следующим условиям:

Т.е. точки х₀...х_m – нули многочлена Р_n(х) кратности S₀...S_m соответственно. Получено: многочлен Р_n(х)≠0 степени n имеет n+1 нулей (из кратности). Отсюда, Р_n(х)≡0. Противоречие доказывает требуемое.

Таким образом, линейная алгебраическая система невырождена, и её решение находится единственным образом.